Глава 673. Доказательство решения факторизации больших положительных целых чисел с помощью полиномиального алгоритма •
《Доказательство решения факторизации больших положительных целых чисел с помощью полиномиального алгоритма!》
Глядя на файл, отправленный Лю Цзясинь на его мобильный телефон, Сюй Чуань на мгновение опешил, а затем пришел в себя.
Он быстро нажал на файл, чтобы загрузить его, и одновременно открыл WeChat.
"Ты доказала?"
Его пальцы быстро постучали по клавиатуре с девятью квадратами, и короткое сообщение было отправлено.
В то же время он быстро отправил файл своему помощнику и отправил сообщение: "Помоги мне распечатать этот файл как можно быстрее и принести его в мою комнату".
Как только сообщение было отправлено, пришел ответ от Лю Цзясинь.
"Да, этот метод должен решить проблему факторизации больших положительных целых чисел, но я не уверена, есть ли в нем еще недостатки, и хотела бы попросить тебя взглянуть на него".
Сюй Чуань быстро набрал ответ: "Печатается, я сейчас посмотрю".
Помолчав, он добавил: "Я вернусь завтра днем".
"Все в порядке, не торопись, сначала займись своими делами, не беспокойся о статье".
Сообщение с той стороны пришло быстро, но Сюй Чуань уже не обращал на него внимания.
Он встал, достал из рюкзака компьютер, быстро включил его и загрузил PDF-статью на компьютер.
Пока распечатанная статья не была доставлена ему в руки, экран компьютера был больше, чем у мобильного телефона. Ему не терпелось увидеть конкретное содержание этой первоклассной математической статьи.
Открыв, он увидел заголовок статьи.
《Доказательство решения факторизации больших положительных целых чисел с помощью полиномиального алгоритма!》
Название статьи очень прямолинейное, это первый вопрос в проблеме P=NP?, а также сложная проблема, которую он ранее обсуждал с Лю Цзясинь.
Однако его понимание проблемы P=NP? не очень глубокое.
Как одна из 18 главных нерешенных математических проблем 20-го века, математик Смейл выбрал следующую NP-полную задачу, вытекающую из традиционных математических задач, в качестве представителя проблемы "P=NP?".
"То есть: даны k многочленов от n переменных на z, существует ли алгоритм полиномиального времени, определяющий, имеют ли они общий ноль на (z)n. И эта формулировка в основном была вдохновлена алгоритмом определения теоремы Браунвелла о нулевой точке Гильберта".
Проще говоря, пусть f1, ···, fk - многочлены от n переменных с комплексными коэффициентами, согласно теореме Гильберта о нулевой точке, f1, ···, fk не имеют общего нуля в поле комплексных чисел тогда и только тогда, когда существуют многочлены от n переменных с комплексными коэффициентами g1, ···, gk, удовлетворяющие k∑i=1·gifi= 1.
Если эти профессиональные математические формулировки трудно понять, то проблему P=NP? можно разделить на две части, используя относительно популярные формулировки.
"Проблемы класса P" и "проблемы класса NP".
Конечно, здесь для облегчения понимания даны два упрощенных понятия, которые отбрасывают математическую строгость и сложность, и делают упрощение для простого и понятного понимания.
P представляет собой класс задач, для решения которых компьютер может иметь очень быстрые методы. Эта скорость не зависит от аппаратного обеспечения компьютера, а зависит только от удобства самого метода решения.
А NP представляет собой другой класс задач, у которых есть оптимальные решения, но для многих из них у компьютера нет быстрых методов поиска оптимального решения, и даже, он может только глупо, грубо, перебирать все возможные комбинации, а затем находить оптимальное решение.
Самый сложный класс задач в NP называется NPC, то есть NP-полные задачи.
Если этого все еще недостаточно конкретно, то следующий небольшой пример поможет вам лучше понять.
Представьте, что вы находитесь на грандиозном банкете и хотите узнать, есть ли там знакомые.
В этот момент хозяин банкета говорит вам, что вы точно знаете госпожу А, которая стоит в правом углу у стола с десертами, и вы сразу же смотрите туда и обнаруживаете, что он прав, вы действительно ее знаете.
Итак, благодаря информации хозяина банкета, вы легко можете определить, что знаете госпожу А.
Но если он не скажет вам этого, вам придется осмотреть весь зал, рассмотреть каждого человека, а затем узнать, есть ли знакомые.
Найти госпожу А по подсказке хозяина банкета - это задача класса P;
А то, что вы, следуя его подсказке, обнаруживаете, что знаете госпожу А, легко проверить, что госпожа А - это задача NP.
В детективном романе японского писателя "Подозреваемый Икс", Исигами и Юкава обсуждали, что сложнее: решить задачу или определить, правильно ли решение.
На самом деле, математический мир уже давно дал ответ, проблема P=NP? находится там, где она есть, и она говорит всем, что создание решения проблемы обычно занимает больше времени, чем проверка данного решения.
Например, если вас попросят вычислить общее количество атомов в мире, эта задача будет очень сложной, и даже неразрешимой.
Но если кто-то скажет вам, что в мире всего 500 атомов, вы сможете быстро проверить, что он ошибается. Легко проверить, но нелегко решить, это и есть задача класса NP.
Задачи класса P - это класс задач, которые можно решить и проверить за полиномиальное время; задачи класса NP - это класс задач, которые можно проверить за полиномиальное время, но неясно, можно ли их решить за полиномиальное время.
Очевидно, что все задачи класса P относятся к классу NP, но невозможно определить, равно ли NP P.
И с тех пор, как была предложена "P=NP?", как в математическом мире, так и в области компьютерных наук было сделано много попыток.
Чтобы доказать, что P=NP, самый очевидный способ - дать алгоритм полиномиального времени для NP-полной задачи.
Но за последние несколько десятилетий большое количество математиков и программистов проделали большую работу по поиску алгоритмов полиномиального времени для NP-полных задач, но безуспешно.
Конечно, есть и большая группа людей, которые пытаются доказать, что P≠NP?, и даже в современном мейнстриме математики и компьютерной индустрии большинство ученых и исследователей считают, что P≠NP?.
Причина проста: если P=NP, это означает, что каждая NP-задача может быть преобразована в P, то есть каждая сложная задача в конечном итоге может стать простым предложением, которое компьютер может быстро решить.
Если в конечном итоге будет доказано, что P=NP, мы сможем преобразовать любую NP-задачу в P-задачу. Те задачи, которые сейчас кажутся сложными, можно будет легко решить. Например, у го появится окончательное решение, в области биологии можно будет легко взломать генетический код, чтобы произвольно манипулировать последовательностями генов, многие математические гипотезы можно будет вычислять и выводить с помощью компьютера, будет решено большое количество сложных задач и т.д.
В то же время, если P=NP, это приведет к тому, что все алгоритмы шифрования станут полностью недействительными в очень короткое время в будущем, ваши банковские карты, пароли мобильных телефонов, учетные записи в социальных сетях перестанут быть безопасными, хакеры смогут легко проникнуть в ваш компьютер, биткойн, блокчейн - эти популярные в последние годы концепции станут никому не нужными областями.
Если P=NP, то во Вселенной должен существовать простой ключ, который может решить все проблемы в этом мире.
Если такой ключ действительно существует, то он, вероятно, уже давно существует во Вселенной.
Например, у людей, возможно, уже есть способность понимать все с первого взгляда, или какому-то существу не нужно бороться за выживание с самого рождения, потому что его алгоритмы чрезвычайно превосходны и позволяют ему выживать в любой среде наиболее эффективным способом.
Но будь то интуиция, философия, религия или наука, людям трудно поверить в существование такого космического кратчайшего пути.
Честно говоря, Сюй Чуань тоже не верит, что во Вселенной существует такой "универсальный" ключ, но когда дело доходит до доказательства P=NP?, даже поэтапного, он приложит максимум усилий для его решения.
Статья на экране компьютера постоянно листалась, строки математических формул и пояснений проносились перед глазами Сюй Чуаня.
В этот момент в дверь номера позвонили.
Быстро встав, Сюй Чуань прошел через спальню и открыл дверь. У входа стояла Тан Сыцзя, его ассистентка по жизни, которая сопровождала его в командировке, держа в руках толстую стопку только что распечатанных документов.
"Профессор, это то, что вы просили".
Передав еще теплую и пахнущую чернилами статью, Тан Сыцзя добавила: "Под статьей есть стопка неиспользованной бумаги формата А4, которую вы можете использовать для расчетов".
Хотя она знала, что Сюй Чуань обычно носит с собой ручку и немного бумаги для черновиков, но то, что она попросила ее распечатать как можно быстрее, несомненно, было чрезвычайно важным.
Поэтому она, опасаясь, что количества бумаги для черновиков, которое он носит с собой, будет недостаточно, прямо из кабинета печати вытащила стопку чистой бумаги формата А4 и принесла ее вместе.
И действительно, услышав, что под статьей есть прилагаемая чистая бумага формата А4, глаза Сюй Чуаня загорелись, и он быстро взял статью и бумагу для черновиков у ассистентки Тан Сыцзя.
"Отлично, спасибо!"
Тан Сыцзя слегка улыбнулась и сказала: "Не за что, если у вас, профессор, есть еще какие-то потребности, просто отправьте мне сообщение".
Напротив, даже не расслышав, что сказала его маленькая ассистентка, Сюй Чуань нетерпеливо махнул рукой, взял статью и бумагу для черновиков и быстро вернулся в кабинет гостиничного номера, даже не удосужившись закрыть дверь.
Снаружи улыбка на лице Тан Сыцзя на мгновение застыла, затем она молча закрыла дверь, развернулась и ушла, попутно пожелав удачи в своем сердце.
Хотя она не могла понять распечатанную статью, но из любопытства, во время перерыва на печать, она поискала в телефоне название статьи.
И название этой статьи, похоже, было связано с одной из семи задач тысячелетия - гипотезой P=NP?.
Как ассистентка Сюй Чуаня, хотя она и не была специалистом по математике, но она более или менее понимала кое-что в области математики, и прекрасно знала вес каждой задачи тысячелетия, а также ее влияние на страну и даже на весь мир.
Решение любой задачи тысячелетия может значительно продвинуть математику и даже другие дисциплины, и даже развитие всего общества.
Как и в случае с уравнением Навье-Стокса, хотя она не могла понять доказательство и даже не могла понять смысл самого уравнения Навье-Стокса, но она прекрасно знала, что решение технологии управляемого ядерного синтеза было основано на уравнении Навье-Стокса.
Надеюсь, что профессор и в этот раз сможет успешно решить проблему P=NP?.
Глядя на спину, входящую в кабинет, Тан Сыцзя молча помолилась в своем сердце.
В кабинете Сюй Чуань не знал, что у маленькой ассистентки снаружи было так много мыслей, в этот момент все его внимание было сосредоточено на статье в его руках.
По сравнению с чтением статьи на экране компьютера, он больше любил эти знания, которые можно было взвесить в руке.
【Аннотация: В этой статье дается метод, с помощью которого задачу класса P можно определить или решить с помощью детерминированного алгоритма за полиномиальное время, а также алгоритм определения полиномиального времени. Дается верхняя граница сложности булевого многочлена (1) для числа членов gi в алгоритме определения существования комплексного решения системы уравнений f1 = 0, ···, fk=0】
"...Это предназначено для изучения взаимосвязи между классами сложности P и NP. В предыдущей статье [1] мы доказали, что задача SAT CNF может быть полиномиально сведена к задаче поиска специального покрытия множества при специальном разложении этого множества, и наоборот".
"...Определение 1: Назовем G = помеченным многоступенчатым графом (labeled multistage graph), если выполняются следующие условия:
1. V - множество вершин, V=VUnUVU...UV, VnV=0, 0≤ij≤l, i≠j. Если UV, 0≤i≤l, то уровень, на котором находится U, называется уровнем i, а U также называется вершиной уровня i. L называется уровнем G.
2. E - множество ребер, все ребра в E являются ориентированными ребрами, которые представлены тройками (u, v, l). Если (u, v, l)E, 1≤l≤l, то UEV-1VEV. Назовем (u, v, l) ребром уровня l графа G.
3. И содержат только единственную вершину. Назовем единственную вершину в истоком, обозначим ее S, назовем единственную вершину в стоком, обозначим ее D"
4.
Статья в руках проносилась перед глазами, Сюй Чуань, не моргая, просматривал каждое слово, каждую математическую формулу, и даже каждый знак препинания.
Факторизация целых чисел - это простая для понимания и ясная проблема, но это не простая проблема.
Относительно говоря, факторизация меньших целых чисел - это задача начальной школы, но как только число становится достаточно большим, например, задача факторизации 50-значного целого числа, это становится сверхсложной математической проблемой.
Если использовать метод "пробного деления", которому учат в начальной школе (например, 7m((4m^2)xp^2)÷(7m^2), результат которого равен 4mp^2), то даже с использованием электронного компьютера, один человек не сможет сделать это за всю свою жизнь.
Даже если предположить, что человечество с момента своего возникновения из поколения в поколение использовало электронные компьютеры для разложения этого целого числа методом пробного деления, даже с момента изобретения компьютера и до настоящего времени, спустя несколько веков, это 50-значное число все еще не может быть разложено.
Поэтому поиск многочлена, позволяющего выполнить факторизацию больших положительных целых чисел за конечное время, является одной из главных целей математиков в области теории чисел.
Включая самого Сюй Чуаня, который всегда с нетерпением ждал, что кто-то сможет это сделать, даже если это будет всего лишь шаг вперед на этом пути, он был бы очень рад.
"...То есть, эти задачи эквивалентны в многочлене".
"В этой статье мы доказываем, что все эти алгоритмические процессы имеют полиномиальную временную сложность по отношению к длине входных данных, и находим полиномиальный алгоритм разложения, который может обрабатывать большие положительные целые числа".
Когда последняя фраза попала в поле зрения, Сюй Чуань, который сидел за столом неизвестно сколько времени, наконец, отложил статью в руке, выдохнул застоявшийся воздух в груди и размял немного затекший позвоночник.
Хотя доказательство такой первоклассной гипотезы - это не то, что можно полностью определить с первого взгляда, но, судя по первому прочтению статьи, его математическая интуиция подсказывала ему, что Лю Цзясинь, она, сделала это!