Глава 674. PNP •
Отложив статью в руке, Сюй Чуань молча смотрел на заголовок на первой странице, смакуя весь процесс чтения.
Для таких людей, как он, увидеть хорошую статью в новой области - это не меньше, чем для обычного человека съесть невиданный ранее деликатес, которого хватит, чтобы вспоминать всю жизнь.
И проблема полиномиального разложения больших положительных целых чисел, несомненно, соответствует этому стандарту.
На самом деле, проблема разложения больших чисел на множители является одной из самых основных, самых старых и до сих пор актуальных, но не полностью решенных проблем в математике.
Ее важность и сложность в области теории чисел ничуть не слабее, чем существование уравнений Янга-Миллса в области дифференциальных уравнений в частных производных.
Поскольку большое целое число может быть простым или составным, предпосылкой для решения этой проблемы является сначала судить о данном большом числе, определить, является ли данное число простым (т.е. задача определения простоты) и разложить большое составное число на простые множители.
В математике она очень похожа на задачу проверки простоты, но проверка простоты была полностью доказана как разрешимая за полиномиальное время, в то время как проблема разложения больших чисел на множители остается нерешенной.
Более того, на протяжении сотен лет проблема разложения больших чисел на множители не была доказана ни как разрешимая за полиномиальное время задача P, ни как NP-полная задача.
Но в этой статье Сюй Чуань увидел подробный ответ, или, можно сказать, путь к одной из главных проблем теории чисел.
Внимательно обдумав статью в своих руках, Сюй Чуань открыл глаза, вытащил из угла стола компьютер и открыл окно чата WeChat.
"Я уже просмотрел статью один раз, она очень хороша!"
Его пальцы легко постукивали по клавиатуре, и похвала передалась за тысячи километров через экран компьютера.
Это не было неискренне, а было его искренним восхищением.
Хотя он давно знал, что у нее сильные способности к математике и информатике, но он никогда не думал, что однажды она сможет войти в эту область.
В академических кругах, или, можно сказать, в Интернете, когда люди обсуждают дисциплину, если она имеет высокую исследовательскую ценность и практичность в определенных аспектах, достаточно сложна для изучения и в то же время имеет определенные трудности на рынке труда, ее называют "специальностью-ловушкой".
И эти специальности обычно считаются фундаментальными дисциплинами, сложными для изучения, а перспективы трудоустройства и оплата труда часто уступают другим специальностям.
Например, самые распространенные четыре "ловушки": "биология, химия, окружающая среда и материалы".
Но во многих случаях математика, которая является самой фундаментальной из естественных наук, в основном не упоминается, или мало кто говорит, что это "специальность-ловушка".
Дело не в том, что она недостаточно сложна, а в том, что она слишком сложна.
Если другие специальности - это ловушка, и вы можете видеть, как много людей (ученых) на дне ямы с трудом карабкаются вверх.
То математика - это скала, дна которой не видно, окутанная облаками и туманом, такая, что если бросить что-то, то не будет эха. Вы не можете видеть, насколько она глубока, и вы не можете ясно видеть, сколько людей внутри, вы можете видеть только несколько великих людей, летающих над облаками, близко к вершине скалы.
Говоря языком математического мира, эти великие люди, летающие над облаками, - боги математического мира.
Сюй Чуань сам был тем, кто летал выше всех.
И теперь, решив проблему полиномиального алгоритма для разложения больших положительных целых чисел, Лю Цзясинь также прыгнула из бездны математики на вершину облаков.
Хотя это не полное решение задачи тысячелетия P=NP?, а лишь один из этапов, но его сложность и влияние на весь мир огромны.
Потому что, помимо того, что это важная проблема в математике и теории вычислений, любое доказательство окажет глубокое влияние на математику, криптографию, исследование алгоритмов, искусственный интеллект, теорию игр, обработку мультимедиа и даже философию, экономику и многие другие области.
Если говорить о области, которая касается всех: "Шифрование!"
В настоящее время, будь то мобильный телефон, компьютер, электронная почта или что-то еще, что требует обмена информацией или связано с безопасностью учетной записи, все это связано с существованием паролей.
А в компьютерной криптографии на данный момент самым важным алгоритмом с открытым ключом является RSA.
Это краеугольный камень безопасности компьютерной связи, гарантирующий, что зашифрованные данные не могут быть расшифрованы. Шифрование RSA является асимметричным шифрованием, которое позволяет выполнять дешифрование без прямой передачи ключа.
Проще говоря, это процесс шифрования и дешифрования с помощью пары ключей, называемых открытым и закрытым ключами соответственно.
Предположим: Сторона А и Сторона Б общаются друг с другом. Сторона Б генерирует открытый и закрытый ключи. Сторона А получает открытый ключ и шифрует информацию (открытый ключ является общедоступным, и любой может его получить). Сторона А использует открытый ключ для шифрования информации.
Только закрытый ключ может быть взломан, поэтому, пока закрытый ключ не раскрыт, безопасность информации может быть гарантирована.
Поэтому он широко используется в различных областях, и его безопасность определяется сложностью разложения больших целых чисел на множители.
Когда все множители составного числа велики, очень сложно получить конкретные множители с помощью грубой силы, и это ядро теории системы RSA.
Но после решения проблемы полиномиального алгоритма для разложения больших положительных целых чисел, алгоритм системы шифрования RSA может быть быстро сведен к "решению" после нахождения метода.
Что это значит, само собой разумеется.
Конечно, это только в теории, на самом деле, чтобы сделать шифрование RSA и другие алгоритмы шифрования бесполезными, даже с этой статьей, в настоящее время невозможно.
Возможно, когда в будущем созреют квантовые компьютеры, в сочетании с этой статьей, это будет настоящим прорывом в области традиционных компьютеров.
Что касается настоящего времени, то можно сказать, что нужно подождать, пока время сделает свое дело.
Но можно себе представить, какое влияние эта статья окажет на весь мир. Только компьютерные коммуникационные пароли претерпят полную трансформацию.
Те методы шифрования, которые основаны на традиционном разложении больших положительных целых чисел на множители, вероятно, будут отброшены и заменены различными странами.
В конце концов, теоретически это больше не безопасно.
Поздно ночью в кабинете тихо раздался щелчок WeChat, и после отправки сообщения Сюй Чуань набрал видеозвонок.
Подождав некоторое время, видеосвязь установилась, и на другом конце в телефоне появилась Лю Цзясинь, которая тоже была в кабинете, обнажив свою длинную лебединую шею и бледно-белую пижаму.
Глядя на старшую сестру по учебе на видео, взгляд Сюй Чуаня, естественно, упал на полоску кожи, которая была белее пижамы, и на мгновение он замер, забыв, что сказать.
Напротив, Лю Цзясинь заметила взгляд Сюй Чуаня и только тогда поняла, что она дома в пижаме, поджала губы и смущенно поправила пуговицы на верхней одежде.
"Кхм~"
Сюй Чуань пришел в себя, слегка кашлянул и сказал: "Я подробно просмотрел статью, и на данный момент она очень хороша! Хотя я не могу с уверенностью сказать, что вы полностью решили эту проблему, ведь она еще не прошла рецензирование, но если вы хотите узнать мое мнение, то, несомненно, вы справились".
"Спасибо". На другом конце видеозвонка Лю Цзясинь с улыбкой сказала: "Извините, что беспокою вас, уже так поздно, а вы все еще помогаете мне".
"Нет, нет, нет, не говорите так!"
Услышав это, Сюй Чуань быстро покачал головой и сказал: "Это не беспокойство, если бы это было так, то я бы хотел, чтобы таких беспокойств было больше!"
Для математика увидеть такую статью - это не то, что не спать, даже если его разбудят ото сна, у него не будет никаких возражений, а вот если он не сможет увидеть ее в первый момент, то будет жалеть.
Конечно, для девушки это, возможно, не стандартный ответ.
Но, очевидно, что в данный момент внимание обоих было сосредоточено не на чем-то, кроме академических вопросов, а на статье в их руках.
"...Сделать глубокие изменения в методе квадратичного решета, ввести метод определения гамильтонова графа и алгоритм полиномиальной функции, чтобы можно было преобразовать проблему существования комплексных нулей, превратив ее в задачу решения системы линейных уравнений, а затем дать сложность алгоритма определения существования комплексного решения системы уравнений f1 = 0, ···, fk=0".
"...Согласно малой теореме Ферма, если p - простое число, то a^(p-1)≡1(mod p) выполняется для всех a∈[1, n-1]. Поэтому, если случайным образом выбрать из [1.n-1] и обнаружить, что малая теорема Ферма не выполняется, то это доказывает, что n обязательно является составным числом".
"..."
В видеозвонке Лю Цзясинь объясняла суть и ход решения проблемы полиномиального алгоритма для разложения больших положительных целых чисел, а Сюй Чуань через экран время от времени задавал свои вопросы.
Хотя статья уже полностью описала процесс доказательства проблемы полиномиального алгоритма для разложения больших положительных целых чисел, но читать статью самостоятельно и слушать объяснения создателя, сверяясь со статьей, - это две совершенно разные вещи.
Если бы можно было понять все проблемы, читая статью, то математическое сообщество не требовало бы от докладчиков проводить презентации после решения этих мировых гипотез.
Время шло в ночи, и только после полуночи они остановились.
В кабинете глаза Сюй Чуаня были яркими и задумчивыми, он на мгновение задумался, а затем, очнувшись от задумчивости, посмотрел на Лю Цзясинь на другом конце видеозвонка и с улыбкой сказал:
"Очень хорошее доказательство, возвышающее метод квадратичного решета, вводящее метод определения гамильтонова графа и алгоритм полиномиальной функции, одновременно обращая вспять коллапс больших целых чисел, это уже можно назвать новым математическим инструментом. На основе предшественников вы сделали даже лучше, чем я себе представлял".
Напротив, Лю Цзясинь поджала губы и мягко покачала головой, сказав: "Но я не могу найти метод, который мог бы преобразовать NP-задачу в P-задачу, и я не могу решить NP-задачу и NPC-задачу".
Глядя на старшую сестру по учебе напротив, Сюй Чуань улыбнулся и поддразнил: "Думаешь, что сможешь решить гипотезу P=NP? за один раз? Ты слишком жадная".
Слегка помолчав, он продолжил: "В проблеме P=NP? проблема полиномиального разложения больших положительных целых чисел сама по себе является одной из двух самых сложных проблем. Если вы сможете решить ее, то остальные проблемы, возможно, не так уж далеки от вас".
Напротив, Лю Цзясинь подумала и, немного поколебавшись, все же сказала: "Но я думаю, что эта проблема может быть далека, возможно, она никогда не будет решена".
Услышав это, Сюй Чуань остановился, удивленно приподнял брови и спросил: "Вы думаете, что P≠NP?"
Хотя он не изучал эту проблему долго и сосредоточенно, но из немногих оставшихся гипотез из семи задач тысячелетия, он, естественно, исследовал и эту.
Хотя и не очень глубоко, но, честно говоря, его мнение по этому вопросу - не P=NP, а P≠NP.
То есть, того простого ключа, который может решить все проблемы в этом мире, не существует.
Это можно считать его смутной математической интуицией.
Даже сегодня вечером, после прочтения доказательства проблемы полиномиального разложения больших положительных целых чисел, P=NP продвинулось на большой шаг вперед, он все еще придерживается своего мнения, что P≠NP.
Конечно, Сюй Чуань никогда не считал, что в нерешенной проблеме его мнение обязательно верно.
В конце концов, он всего лишь человек, просто он знает немного больше, чем обычные люди, и не является всеведущим и всемогущим богом.
Но в проблеме P=NP?, или, можно сказать, в проблеме P-класса и проблеме полиномиального разложения больших положительных целых чисел, эта старшая сестра по учебе, вероятно, является одним из тех, кто продвинулся дальше всех, или, можно сказать, тем, кто продвинулся дальше всех.
Если даже она считает, что гипотеза P=NP?, возможно, неверна, в сочетании с мнением большинства математического сообщества и его собственной интуицией, возможно, P=NP не существует.
То есть, NP-задачи никогда не смогут "полностью" сжаться до P-задач.
Возможно, кто-то удивится, ведь если проблема полиномиального разложения больших положительных целых чисел уже доказана, то почему P не равно NP? Разве это не должно было бы еще больше приблизить нас к P=NP?
На этот вопрос можно ответить только то, что сама гипотеза P=NP? не является полностью определенной математической проблемой.
В семи задачах тысячелетия Института математики Клэя она называется "non-deterministic polynomial problem", то есть проблемой недетерминированной полиномиальной сложности.
В гипотезе P=NP? P и NP по обе стороны не фиксированы, она нацелена на бесконечные полиномиальные и недетерминированные задачи. В этом случае доказать, что P≠NP, непросто.
Если P=NP, вам нужно гарантировать, что каждая NP-задача может быть сведена к P-задаче, а если P≠NP, то вам нужно доказать, что каждый потенциальный алгоритм обязательно потерпит неудачу.
И алгоритмы и задачи здесь относятся не только к настоящему, но и ко всем прошлым и будущим.
Поэтому вместо того, чтобы говорить, что проблема P=NP? - это математическая гипотеза, лучше сказать, что это способ мышления, способ классификации и понимания проблем в соответствии с их внутренней сложностью.
Напротив, Лю Цзясинь кивнула и тихо сказала: "Да, возможно, эта проблема не имеет решения, мы не можем доказать ни P=NP, ни P≠NP".
"Я пыталась решить одну NP-полную задачу, но обнаружила, что невозможно найти алгоритм, который мог бы решить эту проблему во всех случаях, можно только стараться изо всех сил, чтобы добиться наилучшего результата".
Сюй Чуань кивнул и с улыбкой сказал: "Похоже, мы пришли к согласию".
Улыбнувшись, он откинулся на спинку стула и продолжил: "Если говорить только о проблемах, то не только проблема P=NP?, но и многие другие сложные проблемы, часто мы не можем решить их напрямую. Но во многих случаях процесс их изучения и есть самое главное".
"Например, сейчас проблема полиномиального разложения больших положительных целых чисел дала нам общую структуру и инструмент, которые помогают думать о том, как решать те сложные проблемы, которые возникают из практических потребностей, а также помогают нам лучше совершенствовать развитие математики и других наук".
"И это самое главное!"