Глава 1087. Теория мотивов Гротендика •
В помещении для занятий при библиотеке.
Лу Чжоу стоял перед маркерной доской, испещренной наполовину законченными записями. Он опустил маркер, который держал в руке, сделал два шага назад и затем произнес.
— … Если мы хотим объединить геометрию и алгебру, нам необходимо изменить наш взгляд на числа и формы. Мы должны отыскать точки соприкосновения между их абстрактными концепциями.
Чэнь Ян стоял рядом с Лу Чжоу. Подумав секунду, он внезапно заговорил.
— Наподобие программы Ленглендса?
Лу Чжоу ответил с серьезным выражением:
— Речь идет не только о программе Ленглендса, но и о теории мотивов. Если мы хотим решить эту проблему, нам необходимо найти взаимосвязь между различными теориями когомологий.
На самом деле, это была широко распространенная проблема.
Связи между различными теориями когомологий были раздроблены на десятки тысяч, если не миллионы, недоказанных гипотез и математических утверждений.
Гипотеза Ходжа, являющаяся одной из нерешенных проблем в области алгебраической геометрии, служила одним из самых известных примеров.
Однако, что интересно, несмотря на множество трудных гипотез, преграждающих путь, можно было доказать теорию мотивов, не доказав при этом остальные гипотезы.
Это было сродни тому, как гипотеза Римана соотносится с обобщенной гипотезой Римана для L-функции Дирихле.
— … Поверхностно может показаться, что мы исследуем проблему комплексного анализа, но на деле это также проблема, касающаяся дифференциальных уравнений в частных производных, алгебраической геометрии и топологии.
Лу Чжоу, не отрывая взгляда от доски, произнес:
— Мудрой стратегией будет отыскать абстрактный фактор, который связывает числа и формы. Мы можем начать со взаимосвязи между серией теорий когомологий, таких как теорема Кюннета и двойственность Пуанкаре. Мы также можем применить этот метод к L-многообразию на комплексной плоскости, тому, что я показывал тебе ранее.
Лу Чжоу бросил взгляд на Чэнь Яна, стоявшего рядом, и продолжил:
— Мне нужна теория, которая строится на основе классической теории одномерных когомологий, а именно — теоремы Абеля—Якоби.
— Используя эту теорию, мы сможем изучать прямое разложение в теории мотивов и связать H(v) с неприводимым мотивом.
— Я изначально планировал заняться этим самостоятельно, но есть и другие важные дела, которыми мне необходимо заняться. Я планирую завершить Теорию Великого Объединения к концу года, так что эта часть ляжет на твои плечи.
Чэнь Ян ненадолго задумался, а затем произнес:
— Звучит интересно… Если я правильно понимаю, то если мы найдем эту теорию, она сможет помочь в решении гипотезы Ходжа.
Лу Чжоу кивнул и сказал:
— Я не уверен, сможет ли она именно решить гипотезу Ходжа или нет, но она, несомненно, вдохновит исследования в этом направлении.
— Я понял, — кивнул Чэнь Ян и добавил. — Я попробую… Не могу гарантировать, что смогу решить это в ближайшее время.
— Всё в порядке, это не та задача, которую можно решить быстро. Я никуда не тороплюсь в любом случае, — Лу Чжоу улыбнулся и затем добавил. — Но мой совет — постарайся дать мне ответ в течение двух месяцев. Если не уверен в себе, обязательно предупреди меня заранее. Я смогу заняться этим самостоятельно.
Чэнь Ян покачал головой.
— Два месяца не понадобится, двух недель должно быть достаточно.
Чэнь Ян говорил уверенно, без тени сомнения. Математический инструментарий был уже доступен, и Лу Чжоу даже предоставил ему идеи для решения проблемы.
Такая работа не требовала нестандартного мышления или особой творческой жилки — она требовала лишь упорного труда.
А упорства ему было не занимать.
— Хорошо, я верю в тебя!
…
После ухода Чэнь Яна Лу Чжоу вернулся в библиотеку и сел в своё кресло. Он принялся листать стопку тезисов на своем столе, продолжая читать и одновременно делая записи на черновике.
Если взглянуть на эту проблему с высоты птичьего полета, то развитие алгебраической геометрии можно разделить на два основных направления. Одно — это программа Ленглендса, другое — теория мотивов.
Суть программы Ленглендса заключалась в установлении связей между, на первый взгляд, никак не связанными областями математики.
Теория мотивов, в свою очередь, была менее известна в сравнении с программой Ленглендса.
Статья, которую читал Лу Чжоу, была написана известным специалистом по алгебраической геометрии, профессором Воеводским.
Этот российский профессор из Принстонского института перспективных исследований предложил интересный тип мотива.
Именно то, что было нужно Лу Чжоу.
— … Мотив — это корень, первооснова всех чисел.
Лу Чжоу пробормотал это себе под нос, продолжая писать на черновике и проверять вычисления из тезиса.
— Например, пусть у нас есть число n. n в десятичной системе счисления — это 100, n в двоичной системе — 1100100, n в восьмеричной системе — 144.
— Его выражение зависит исключительно от того, выбираем ли мы счет по основанию 2, основанию 8 или основанию 10. Все они соответствуют одному и тому же числу n, просто записанному в разных формах выражения.
— N обладает особым смыслом.
— Это не просто абстрактное число, но в большей степени — математическая концепция.
— Теория мотивов изучает совокупность несчетного множества таких n, обозначенную как N.
— Будучи корнем всех математических выражений, N может быть отображена на любой набор интервалов, будь то [0, 1] или [0, 9]…
На самом деле, это была одна из центральных проблем алгебраической геометрии — абстракция чисел.
Различные математические языки были "переведены" людьми с помощью различных систем обозначений. Абстрактное же выражение являлось единственным истинным языком вселенной.
Люди, использующие математику в повседневной жизни, возможно, никогда не осознают этого. Многие религии и культуры, придающие числам особый смысл, на самом деле не понимают, что такое настоящий "язык вселенной".
Можно спросить, какой смысл усложнять вычисления, но отделение чисел от их представления помогает людям исследовать стоящий за ними абстрактный смысл.
Помимо заложения современных теоретических основ алгебраической геометрии, Гротендик также предложил теорию мотивов.
Эта теория была подобна мосту, соединяющему различные теории когомологий, алгебру и геометрию.
Она была подобна главной мелодии симфонии. Любая теория когомологий могла извлечь из этой главной мелодии свою тему, видоизменяя её, переходя из мажора в минор или даже меняя темп.
— … Теории когомологий формируют геометрический объект. И этот геометрический объект можно исследовать, используя его (Гротендика) каркас.
— … Теперь я понимаю.
В глазах Лу Чжоу вспыхнул луч озарения, и он внезапно перестал писать.
У него было чувство, что он близок к финишной черте.
Это чувство исходило из самых глубин его души, и оно было одним из лучших ощущений, которые он когда-либо испытывал…