Глава 204. Решение гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности •
В кабинете Фейфферман долго смотрел на формулы на доске, прежде чем заговорить:
"Это тоже способ решить изоспектральную проблему, и продуманность твоего пути намного превосходит мою."
"Я всего лишь обдумал идею, но ты уже развил эту идею и даже сделал часть вычислений."
Помолчав, Фейфферман продолжил: "Но я не собираюсь отказываться от своих собственных идей. Возможно, мы сможем сделать нечто грандиозное."
Сюй Чуань с любопытством спросил: "Что грандиозное?"
"Разделить исследования!"
Фейфферман мягко улыбнулся и продолжил: "Мы пойдем каждый своим путем, используя свои собственные методы для решения изоспектральной проблемы. Если мы оба сможем решить эту проблему в течение трех месяцев, то опубликуем результаты вместе."
"Это также будет своего рода давлением для нас. Решить сложную проблему за три месяца - одна только мысль об этом будоражит."
Как и Сюй Чуань, он высоко оценил предложенный собеседником путь, полагая, что он также может решить изоспектральную проблему.
Но он не собирался отказываться от своих собственных идей. По его мнению, идеи обоих были основаны на их собственных уникальных математических знаниях.
Раз так, то лучше разделить исследования.
Установить срок и устроить здоровую конкуренцию, чтобы увидеть, чьи идеи и чьи способности лучше.
Глаза Сюй Чуаня загорелись, он понял идею Фейффермана и улыбнулся: "Должен сказать, это действительно интересное предложение, и очень заманчивое."
Помолчав, он продолжил: "Конечно, это также создает большое давление."
Решить изоспектральную проблему за три месяца, даже если у них в голове есть идеи для решения этой проблемы, не так-то просто.
Если согласиться, это означает, что им обоим придется работать на износ в течение этих трех месяцев, что создает огромное давление.
"Итак, что ты думаешь?" - спросил Фейфферман, ухмыляясь.
"Я принимаю этот вызов", - решительно ответил Сюй Чуань.
Как можно отступать перед лицом вызова, тем более что у него есть преимущество в возрасте.
В этом году ему всего двадцать лет, а Фейфферману уже шестьдесят шесть. Он верит, что в плане работы на износ он будет более выносливым, чем Фейфферман.
"Ха-ха-ха, хорошо, тогда начнем!" - радостно ответил Фейфферман.
Хотя в Принстоне он известен своей мягкостью, скромностью, добротой и почти полным отсутствием вспыльчивости, это все-таки Принстон, и у каждого в душе есть своя гордость.
Даже если он уступает Сюй Чуаню в возрасте и выносливости, у него есть свои преимущества.
Возраст означает, что у него на сорок с лишним лет больше опыта и знаний.
С этой точки зрения он имеет абсолютное преимущество.
Вот только он не знает, что за монстр стоит перед ним.
Принстонский институт перспективных исследований.
В одной из вилл фигура корпела над письменным столом в кабинете.
Растрепанные волосы, небритая щетина, темные круги под глазами, налитые кровью глаза - все это свидетельствовало о том, как долго эта фигура не спала.
Но в отличие от обычного недосыпа, взгляд фигуры за столом был необычайно ясным, дух возбужден, а шариковая ручка в руке непрерывно скользила по бумаге.
"..."
"(d1){u = λu, x ∈ Ω1, u|Ω1 = 0;"
"(d2){v = v, x ∈ Ω2, v|Ω2 = 0;"
"...тогда задачи на собственные значения (d1) и (d2) имеют дискретные спектры {λi}i∈n и {i}i∈n соответственно. Если для каждого i ∈ n, λi = i."
"...Согласно теоремам [1][6][11], можно построить на плоскости r2 пару ограниченных связных областей с гладкими границами (по крайней мере, границами класса C1), которые являются изоспектральными, но не изометрично изоморфными."
"Таким образом, можно доказать, что гипотеза об изоспектральной неизометричной изоморфности верна для трехмерных ограниченных областей!"
Поставив последнюю точку, Сюй Чуань отложил шариковую ручку, уставился на рукопись на столе, вздохнул с облегчением, и на его лице появилась улыбка.
Взгляд упал на календарь рядом: незаметно наступило начало июня.
А с тех пор, как Фейфферман бросил ему вызов в своем кабинете, прошло почти два месяца.
За прошедшие почти два месяца он, опираясь на свои предыдущие исследования гипотезы Вейля-Берри, использовал спектральную асимптотическую теорему из теоремы Сюя-Вейля-Берри, чтобы построить множество ограниченных открытых областей, не пересекающихся попарно.
Но он столкнулся с некоторыми трудностями при использовании оператора Лапласа для преобразования и построения пары ограниченных связных областей с гладкими границами.
Оператор Лапласа - это дифференциальный оператор второго порядка в n-мерном евклидовом пространстве, определяемый как дивергенция div градиента grad.
Он применяется к эллиптическим уравнениям в частных производных, а также может использоваться для описания равновесных устойчивых состояний в физике, таких как стационарные электромагнитные поля, гравитационные поля и явления реакции-диффузии.
Это ключ к решению изоспектральной проблемы, но он не может построить стабильную замкнутую гиперповерхность Вильмора с точки зрения вычисления собственных значений, а также не может вычислить постоянную среднюю кривизну.
Это одно время сильно его беспокоило.
К счастью, благодаря поиску и просмотру литературы, связанной с изоспектральной проблемой и уравнениями в частных производных, он нашел подходящее решение.
Симплектический геометрический алгоритм для гамильтоновых систем, сохраняющий симплектическую структуру, и метод Ли для дифференциальных уравнений Ли, сохраняющий группу Ли.
Эти два алгоритма, предложенные математиками из Великобритании в прошлом веке, могут точно моделировать изменения дифференциальных уравнений в течение длительного времени и приблизительно сохранять свойства сохранения импульса и энергии дифференциальных уравнений.
И эти два свойства как раз можно применить к его математическим вычислениям, что позволяет идеально заполнить последнюю брешь и завершить построение.
Глядя на ответ в рукописи, Сюй Чуань улыбнулся.
Он уже закончил свою работу, интересно, как продвигается работа Фейффермана.
Три месяца, даже если прибавить время их совместной работы, получится всего четыре с небольшим месяца.
Четыре месяца на решение задачи мирового уровня - это непросто даже для лауреата Филдсовской премии.
Он смог решить ее благодаря своим исследованиям в области анализа и топологии в прошлой жизни, а также тому, что первой математической задачей, которую он решил в этой жизни, была задача в области изоспектральности, поэтому он справился так быстро.
Что касается Фейффермана, то тут неясно.
Но, скорее всего, он был уверен в своих силах, раз предложил этот вызов.
В конце концов, сам Фейфферман является ведущим экспертом в области уравнений в частных производных и имеет уникальные исследования в области гладких многообразий.
С другой стороны, после двух месяцев исследований, когда он снова посмотрел на предыдущие идеи Фейффермана, он остро почувствовал, что решение изоспектральной проблемы, исходя из функции Дирихле и нелинейных уравнений в частных производных, намного проще, чем его подход, основанный на операторе Лапласа.
Это не только научная интуиция, но и результат его исследований изоспектральной проблемы за этот период.
И у него появились некоторые смутные догадки относительно других способов решения этой проблемы.
Это также заставило Сюй Чуаня вздохнуть: даже несмотря на то, что он уже решил одну из семи Задач тысячелетия, его понимание математической области все еще уступает этим ведущим ученым, которые десятилетиями занимаются математическими исследованиями. Между ним и этими ведущими математиками, посвятившими себя математическим исследованиям, все еще существует определенный разрыв.
Однако этот разрыв постепенно сокращается по мере того, как он становится старше и усваивает математические знания.
Выйдя из виллы, Сюй Чуань не стал беспокоить Фейффермана, а лишь заглянул в его кабинет, и, увидев, что там никого нет, вернулся в свой собственный.
Когда он появился в дверях кабинета, четверо студентов, занимавшихся внутри, одновременно выразили удивление на своих лицах.
"Профессор, вы вернулись?"
"Вы уже решили ту изоспектральную задачу?" - удивленно спросили студенты.
Сюй Чуань кивнул: "Если не произойдет ничего непредвиденного, то да. Профессор Фейфферман приходил в эти дни?"
Услышав это, все четверо студентов невольно сглотнули.
Не слишком ли ненормален их наставник?
На самом деле, в эти дни, помимо учебы, они вчетвером также пытались вместе исследовать проблему, над которой работали Сюй Чуань и профессор Фейфферман.
Они хотели посмотреть, смогут ли они вчетвером решить эту сложную задачу.
Или, другими словами, хотели посмотреть, как далеко они находятся от двух профессоров.
Это предложение было выдвинуто Шахи Пересом и быстро получило одобрение остальных троих.
В конце концов, все четверо были отличниками, раз смогли поступить в Принстон, и, естественно, у них была гордость.
Три головы лучше, чем одна, и если бы они смогли решить эту проблему, возможно, наставник и профессор Фейфферман посмотрели бы на них другими глазами?
Но реальность оказалась жестокой.
Даже несмотря на то, что изоспектральная задача является небольшой подзадачей уравнения НС, и даже несмотря на то, что перед ними были два разных подхода к решению, предложенные профессором Фейфферманом и их наставником, они были бессильны.
Не говоря уже о решении этой изоспектральной задачи, они не смогли даже продвинуться вперед по пути, предложенному двумя профессорами, даже объединив усилия всех четверых.
Эта попытка показала им, что между людьми существует разница, нет, пропасть.
Оправившись от шока, Роджер Дин почтительно ответил: "Профессор Фейфферман приходил несколько дней назад, но вас не было".
Услышав слова своего старшего ученика, Сюй Чуань удивился и спросил: "Профессор Фейфферман уже решил изоспектральную задачу?"
Роджер Дин покачал головой: "Не знаю, профессор Фейфферман ничего не говорил об этом, но когда он приходил несколько дней назад, он передал мне, чтобы я позвонил ему, если вы вернетесь".
Сюй Чуань кивнул: "Я понял".
Достав из кармана мобильный телефон, Сюй Чуань вышел из кабинета и позвонил Фейфферману.
Телефон звонил некоторое время, прежде чем на него ответили, и голос Фейффермана быстро раздался: "О, Сюй, ты наконец-то решил покинуть свою виллу?"
Сюй Чуань усмехнулся и спросил: "Как продвигается твое исследование?"
Фейфферман: "Я застрял в одном месте и пытаюсь найти решение, а ты?"
Прежде чем Сюй Чуань успел ответить, Фейфферман что-то вспомнил и нерешительно спросил: "Неужели ты уже решил ее?"
Он вспомнил, как ранее, во время общения с Делинем, тот сказал, что Сюй Чуань, решая проблемы, имеет привычку запираться один в комнате.
И каждый раз, когда он выходит, это означает, что проблема, над которой он работал, решена.
Неужели он уже решил гипотезу об изоспектральной неизометричной изоморфности?
Сюй Чуань кивнул: "Да, используя свой метод, я уже построил ее".
После этих слов с той стороны послышался звук "бум", как будто телефон упал на деревянный стол, но его быстро подняли, и оттуда раздался взволнованный голос.
"Ты сейчас в офисе? Я сейчас приду".
Фейфферман пришел быстрее, чем ожидал Сюй Чуань.
И пришел он не один, вместе с ним пришел профессор Делинь.
На самом деле, Фейфферман только что был в кабинете Делиня, и они вдвоем обсуждали, как решить возникшую проблему.
"Ты уже решил гипотезу об изоспектральной неизометричной изоморфности? А доказательство? Ты принес его с собой?" - с нетерпением спросил Фейфферман.
"Оно все еще в моей вилле, пойдем вместе или мне сходить за ним?" - ответил Сюй Чуань.
"Конечно, пойдем вместе", - без колебаний сказал Фейфферман.
В тихой вилле Сюй Чуань передал Фейфферману упорядоченное доказательство, и тот сразу же принялся его изучать.
Делинь, стоявший рядом, с интересом спросил: "Есть ли еще копии?"
Сюй Чуань покачал головой: "Копий нет, но у меня сохранились оригинальные черновики".
С этими словами он достал из книжного шкафа, стоявшего рядом, оригинальные рукописи и передал их Делиню.
Хотя оригинальные рукописи не так аккуратны, как упорядоченное доказательство, в них можно без проблем проследить ход мыслей автора.
В тихой вилле время шло медленно.
Профессор Фейфферман первым отложил в сторону доказательство, которое держал в руках, и посмотрел на Сюй Чуаня, сидевшего напротив, со сложным выражением в глазах.
Перед приходом он все еще думал о том, сможет ли он найти какие-нибудь недостатки в доказательстве, чтобы утешить себя.
Но теперь, похоже, он проиграл.
Проиграл этому юноше, который был младше его на целых сорок шесть лет.
Он не нашел в статье никаких изъянов, особенно его поразил шаг, в котором использовался оператор Лапласа для преобразования и построения устойчивой замкнутой гиперповерхности Вильмора, он не мог не восхититься этим в душе.
Это было слишком гениально.
Как будто так и должно быть в математике.
Однако он не стал зацикливаться на этом, ведь этот юноша, если не считать возраста, ни в чем не уступал ему в математических способностях, а, можно сказать, даже превосходил его.
Он не решал ни одной из семи Задач тысячелетия и не становился пожизненным исследователем в Принстонском институте перспективных исследований в двадцать лет.
"Очень хорошее доказательство, по крайней мере, я не нашел в нем никаких изъянов", - Фейфферман отложил рукопись, которую держал в руках, посмотрел на Сюй Чуаня и продолжил: "Твой математический талант действительно настолько преувеличен? Ты решил эту проблему всего за полтора месяца".
Сюй Чуань усмехнулся, указал на темные круги под глазами и сказал: "Полтора месяца? Может быть".
"Все это время я спал не больше шести часов в сутки, и даже если прибавить к этому время на еду, бег и другие занятия, то это не превысит десяти часов, а оставшиеся четырнадцать часов я занимался исследованием этой проблемы".
Услышав это, Фейфферман открыл рот, но не знал, что сказать.