Глава 203. Два разных пути •
Отослав четырёх студентов, Сюй Чуань снова встал перед доской, на которой профессор Фейфферман писал математические формулы.
Уравнения Н-С, полное название — уравнения Навье-Стокса, представляют собой уравнения движения, описывающие сохранение импульса вязкой несжимаемой жидкости.
В широком смысле, это не одно уравнение, а система уравнений, состоящая из нескольких уравнений.
Например, уравнение движения вязкой жидкости, впервые предложенное Навье в 1827 году;
Например, уравнение движения сжимаемой жидкости, предложенное Пуассоном в 1831 году;
Или же форма, предложенная независимо Сен-Венаном и Стоксом в 1845 году, в которой коэффициент вязкости является константой, — все они называются уравнениями Навье-Стокса.
Эти уравнения отражают основные механические законы течения вязкой жидкости и имеют очень важное значение в гидродинамике.
Но их решение очень сложное и трудное, и до тех пор, пока не будут разработаны и усовершенствованы методы и технологии решения, точные решения могут быть получены только для некоторых очень простых частных случаев задач течения.
На сегодняшний день математическое сообщество продвинулось в их решении лишь до шага "существования глобального гладкого решения уравнений Н-С при условии, что некоторая норма заданных начальных значений достаточно мала или область движения жидкости достаточно мала".
Для уравнений НС в целом это практически не является продвижением.
Ведь когда число Рейнольдса Re≥1, вязкая сила намного меньше силы инерции вне пограничного слоя обтекаемого тела, и членом вязкости в уравнении можно практически пренебречь.
А после пренебрежения членом вязкости уравнения Н-С можно упростить до уравнений Эйлера для идеального течения.
Если решать только уравнения Эйлера, то это несложно.
Но, очевидно, такое решение не соответствует требованиям Сюй Чуаня к уравнениям НС.
Что касается уравнений Н-С, то он не требует полного решения этой проблемы, доказательства гладкости решения, и не мечтает о вычислении окончательного решения.
Но, по крайней мере, он хочет иметь возможность определять течение жидкости при заданных начальных и граничных условиях.
Это основное требование для управления течением сверхвысокотемпературной плазмы в камере реактора управляемого термоядерного синтеза.
Если даже это невозможно сделать, то о последующих моделях турбулентности и системах управления и говорить нечего.
И те формулы, которые профессор Фейфферман перечислил на доске, могут дать надежду на продвижение к этому шагу.
Если удастся решить эту изоспектральную задачу, то он и Фейфферман смогут продвинуть уравнения НС на один маленький шаг вперёд.
По крайней мере, можно будет добиться того, чтобы в искривлённом пространстве при заданных начальных и граничных условиях можно было определить существование и гладкость решения.
Не стоит недооценивать этот маленький шаг, ведь математическое сообщество не могло сделать его в течение ста пятидесяти лет.
Поэтому Сюй Чуань очень хочет решить эту проблему.
Стоя перед доской, Сюй Чуань долго размышлял, но в итоге всё же покачал головой.
Что касается гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности, у него пока нет никаких идей. Ни оператор Лапласа, ни эллиптический оператор, ни подход с использованием ограниченной связной области не дают ему никакой надежды.
По крайней мере, эти направления не дали ему никаких ярких идей или мыслей.
Покачав головой, Сюй Чуань вернулся к своему столу, временно отказавшись от прорыва в изоспектральной задаче, и начал приводить в порядок свои записи и общение с Фейфферманом за это время.
Возможно, Фейфферман прав, и вдохновение может прийти, пока он занимается систематизацией информации?
Но, к сожалению, это предсказанное вдохновение так и не посетило его, даже когда он закончил приводить в порядок свои мысли и идеи.
К счастью, он не из тех, кто торопится. Долгий опыт научных исследований научил Сюй Чуаня, что чем сложнее мировая проблема, тем важнее сохранять спокойствие и хладнокровие.
Когда человек торопится и паникует, решения и выборы, которые он делает, не обязательно будут на сто процентов неправильными, но вероятность сделать неправильный выбор, несомненно, довольно высока.
Лучший способ — прояснить свои мысли и начать с основ.
Чтобы решить проблему, нужно найти ключ, а один из способов решения математических задач — разбить их на более мелкие и более управляемые части.
Этот метод называется "разделяй и властвуй".
Разбивая проблему на более мелкие части, можно сделать её более понятной и решаемой.
Кроме того, разбиение проблемы на более мелкие части может помочь выявить закономерности и взаимосвязи, которые могут быть не сразу очевидны при рассмотрении проблемы в целом.
Конечно, этот метод не подходит для всех математических гипотез.
Потому что некоторые математические гипотезы не могут быть разделены.
Но что касается гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности, то она не относится к числу неразделимых проблем. Её основа построена на математических задачах современной дифференциальной геометрии, объединяя математические знания в таких областях, как спектральная теория и изоспектральные задачи, кривизна и топологические инварианты.
Исходя из этого, Сюй Чуань разбил её на исходные математические структуры, а затем, начиная с самой знакомой ему в этой жизни спектральной теории и изоспектральной математики, шаг за шагом совершенствовал и решал эти проблемы.
Этот метод также широко распространён в физике. Вообще говоря, сложные физические процессы состоят из нескольких простых «подпроцессов».
Поэтому самый основной метод анализа физических процессов заключается в иерархизации сложной проблемы и её разложении на несколько взаимосвязанных «подпроцессов» для изучения.
Этот метод полезен не только в старших классах школы и университете, но и применим в различных областях физики даже в аспирантуре и докторантуре.
А метод разбиения в математике и метод анализа в физике имеют схожие преимущества.
Поэтому Сюй Чуаню довольно удобно использовать этот метод, по крайней мере, ему не нужно тратить много времени на изучение нового метода математических исследований.
В течение следующей недели с лишним Сюй Чуань сосредоточился на попытках решить гипотезу об изоспектральной неизометричной изоморфности с помощью этого метода, а еженедельные лекции в Принстоне он передал более старшему Роджеру Дину.
Роджеру Дину в этом году уже тридцать один год, он почти получил докторскую степень в Миланском политехническом университете в Италии, и даже подготовил диссертацию. Он приехал в Принстон для повышения квалификации, и у него нет проблем с чтением лекций для студентов бакалавриата.
Конечно, Сюй Чуань не использует чужой труд бесплатно. Хотя, согласно негласным правилам академического сообщества, он мог бы использовать его бесплатно, он всё же подал заявку на должность ассистента-стажёра в Принстоне для этого студента.
С этой должностью Роджер Дин может пользоваться некоторыми льготами Принстона. Хотя их немного, но достаточно для поддержания его повседневной жизни.
И если Роджер Дин в будущем подаст заявку на должность ассистента-профессора в Принстоне, то с этим опытом ему будет намного проще.
Это можно считать своего рода вознаграждением Сюй Чуаня этому студенту, ведь он не из тех беспринципных руководителей, которые всячески эксплуатируют студентов, и не способен бесплатно использовать труд студентов.
О вознаграждении они, вероятно, никогда и не думали.
Есть даже очень небольшая часть руководителей, которые жаждут присвоить себе каждую разработку, выполненную студентом самостоятельно. В кабинет снова пришёл профессор Фейфферман, которого не было здесь больше десяти дней.
"Профессор Фейфферман."
Сюй Чуань поздоровался и попросил Амелию принести две чашки кофе.
"Спасибо." Взяв кофе у Амелии, Фейфферман подул на пену, сделал небольшой глоток и посмотрел на Сюй Чуаня: "Сюй, что касается той изоспектральной задачи, о которой мы говорили в прошлый раз, у меня, возможно, появилась идея."
"Говорите."
Сюй Чуань кивнул, показывая, что слушает.
На самом деле, не только у профессора Фейффермана появились идеи и вдохновение. Все эти дни он занимался разбором и исследованием гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности, и у него тоже появились некоторые мысли.
Фейфферман задумался, собрался с мыслями и начал: "Изучение спектра многообразия - это фундаментальная проблема римановой геометрии. Для компактных римановых многообразий все спектры являются точечными, то есть все спектры оператора Лапласа состоят из собственных значений конечной кратности. Для полных некомпактных многообразий ситуация намного сложнее."
"Предположим, что Ω - открытая область в cn, u - гладкая функция, определённая на Ω, матрица Гессе функции u равна (u/zjzk), её собственные значения равны λ1, λ2...λn, определим комплексный оператор Гессе как..."
"С помощью аппроксимации гладкими функциями включим в pm и негладкие функции. Назовём u∈dm, если существует регулярная борелевская мера и монотонно убывающая последовательность гладких функций {uj}∈pm, такая, что hm(uj)→, и обозначим это как hm(u)=..."
"..."
"Если начать с этой стороны, то, возможно, есть надежда углубиться в гипотезу об изоспектральной неизометричной изоморфности."
"Не знаю, что ты думаешь?"
Высказав свои мысли, Фейфферман с надеждой посмотрел на Сюй Чуаня.
Сюй Чуань не ответил сразу, его пальцы ритмично постукивали по столу. В словах Фейффермана он увидел ещё один путь к изоспектральной проблеме.
Функция Грина для одного класса полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка - это путь, о котором он раньше не думал.
Но когда этот путь был озвучен Фейфферманом, он остро почувствовал, что он, кажется, тоже осуществим.
Немного подумав, Сюй Чуань перестал стучать пальцами по столу из красного дерева и сказал: "Отталкиваясь от направления нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, использовать функцию Дирихле для изучения изоспектральной проблемы - это направление, о котором я не думал."
"Однако, судя по интуиции, это, возможно, осуществимый путь, который определённо стоит попробовать."
Услышав это, Фейфферман улыбнулся: "Тогда давайте начнём."
Сюй Чуань улыбнулся и сказал: "Не спешите, что касается гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности, у меня тоже есть некоторые мысли, не хотите ли вы их выслушать?"
В глазах Фейффермана промелькнуло удивление, но оно быстро сменилось любопытством, и он быстро ответил: "Конечно."
Сюй Чуань встал, подошёл к краю кабинета, вытащил из угла ранее использовавшуюся доску, взял мел и, собравшись с мыслями, написал на ней:
"(p){-△u=λu, x∈Ω; u=0, x∈Γ1; δu/δn=0, x∈Γ2"
"Здесь Γ - граница Ω, и Γ=Γ1∪Γ2, Ω - ограниченное непустое открытое множество в rn, или общая n-мерная область с конечной мерой Лебега, △ - оператор Лапласа, t1 и t2 непусты. Мы определяем..."
"Спектр 6(p) дискретен, по конечной кратности собственных значений его можно упорядочить как 0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤… и при k→∞, λk→0, определим n(o,-λ,λ)=#{k∈n]ょ."
"..."
В кабинете Сюй Чуань держал мел и писал на доске свои мысли и идеи, а профессор Фейфферман стоял позади и наблюдал.
Математикам их уровня не нужно, чтобы докладчик слишком подробно излагал свои мысли, всё можно понять из написанных формул.
И по мере того, как Сюй Чуань писал, взгляд Фейффермана становился всё более ясным, от любопытства вначале, к удивлению, а затем к изумлению и пониманию.
Точно так же, как Сюй Чуань увидел в его рассказе путь к проблеме гипотезы об изоспектральной неизометричной изоморфности, он увидел в записях Сюй Чуаня совершенно другой путь.
Этот путь также может решить трудности, мешающие им двигаться вперёд.
Нет!
Если говорить только о возможностях, то путь, написанный на доске, имеет больше шансов решить изоспектральную проблему.
Ведь он только предложил, казалось бы, осуществимый путь, а Сюй Чуань уже начал прокладывать другой путь.
Это похоже на то, как один человек указывает на пустырь и говорит: "Я построю здесь дом", а другой уже выровнял этот пустырь экскаватором.
Обе стороны собираются строить дом на пустыре, но доверие ко второму намного выше, чем к первому.
Перенеся на доску мысли и идеи, которые он обдумывал все эти дни, Сюй Чуань повернулся к Фейфферману.
"Вот моя идея: построить множество попарно непересекающихся ограниченных открытых областей, а затем использовать оператор Лапласа для построения изоспектральных неизометричных областей со смешанными граничными условиями для r2 и r3."
"Возможно, это тоже путь, который может привести к решению изоспектральной проблемы."
"Не знаю, что ты думаешь?"
Идея, предложенная Фейфферманом, и его собственные мысли - это два совершенно разных пути, но Сюй Чуань не считает, что Фейфферман ошибается.
Конечно, он не считает, что и его собственные мысли ошибочны.
Разные пути ведут к одной цели. Для таких сложных математических задач, которые затрагивают множество областей, не существует единственного способа решения.
Это не похоже на 1+1=2, которое всегда постоянно. Будь то отправная точка от функции Дирихле и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, или построение множества ограниченных открытых областей с использованием оператора Лапласа для построения неизометричных областей, оба подхода являются способами решения проблемы.
Хотя разница между этими двумя методами очень велика.
Но в развитии математики границы давно размыты.
Теория чисел, алгебра, геометрия, топология, математический анализ, теория функций, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных - эти разделы математики давно переплелись друг с другом.
В современной математике решение серьёзной проблемы в одной области, исходя из, казалось бы, несвязанной области, уже не является чем-то необычным.
Есть даже много математиков, которые специально пытаются соединить две разные области.
Так же, как после того, как Папа Гротендик заложил основы современной алгебраической геометрии, бесчисленное количество математиков стремились к великому объединению алгебры и геометрии.