Глава 202. Уравнения Навье-Стокса •
Пока Сюй Чуань вместе с Фейфферманом отправился в кабинет для обсуждения гладких многообразий, его первая лекция в Принстоне вызвала немалый резонанс в сети университетов Северной Америки.
На некоторых известных университетских форумах активно обсуждали это событие.
«Эй, вы знаете? Тот гений, который доказал гипотезу Ходжа, на своей первой лекции заявил, что на доказательство гипотезы Ходжа у него ушло всего пять месяцев!»
«Пять месяцев? Ты шутишь?»
«Могу поклясться Богом, что в моих словах нет ни капли лжи».
«Если это правда, то это слишком страшно, но на самом деле это невозможно. Никто не сможет доказать гипотезу Ходжа за пять месяцев. На самом деле, он потом сказал, что закладывал фундамент для этого более десяти лет».
«Девять лет образования + три года подготовки к вступительным экзаменам + пять лет практики? (ov)ノ»
«Это волшебство и колдовство с Востока».
Как и предполагал Сюй Чуань, почти никто не поверил, что он действительно доказал гипотезу Ходжа за пять месяцев, это слишком абсурдно.
На самом деле, если бы это случилось с кем-то другим, Сюй Чуань и сам бы не поверил.
В конце концов, на доказательство гипотезы Ходжа у него ушло всего пять месяцев, но это неотделимо от его исследований в области топологии и математического анализа в прошлой жизни, а также неотделимо от изучения алгебраической геометрии и дифференциальных уравнений у Делиня в этой жизни.
Более десяти лет ковать один меч — это не преувеличение.
Но для учёного, если он сможет выковать такой меч и сразить дракона, восседающего высоко наверху, это уже будет величайшим достижением в его жизни.
Однако Сюй Чуань не удовлетворился этим. Покорив гипотезу Ходжа, он вместе с Фейфферманом начал штурм конечной цели гладких многообразий — «уравнений НС».
Это предложение исходило от Фейффермана.
После двух бесед с Сюй Чуанем об идеях в области гладких многообразий Фейфферман не смог сдержать свои мысли.
Ведь в области многомерных комплексных функций и гладких многообразий он внёс огромный вклад и глубоко изучил эту область знаний.
В 1974 году он доказал мировую проблему: «биголоморфное отображение строго псевдовыпуклой области с гладкой границей на другую может быть гладко продолжено на границу».
Это то, что многие математики XX века пытались доказать, но безуспешно.
Потому что область многомерных комплексных переменных отличается от случая одной комплексной переменной, две односвязные области не обязательно биголоморфно эквивалентны, поэтому метод одной комплексной переменной не может быть применён.
И он решил эту проблему своим собственным новым методом.
Исходя из этого, Фейфферман несколько раз пытался штурмовать уравнения НС, но в итоге все попытки заканчивались неудачей.
А прибытие Сюй Чуаня принесло ему новый луч надежды. Поразмыслив некоторое время, он, наконец, набрался смелости и предложил Сюй Чуаню объединить усилия, чтобы попытаться решить уравнения НС.
И на предложение Фейффермана Сюй Чуань без колебаний сразу же согласился.
Уравнения Навье-Стокса были одной из проблем, которые он больше всего хотел решить в прошлой жизни.
Решив их, возможно, появится надежда обуздать дракона — турбулентность сверхвысокотемпературной плазмы в управляемом термоядерном синтезе, надеть на него уздечку и приручить.
Ради этого в прошлой жизни он выбрал сотрудничество с профессором Фейфферманом.
Но, к сожалению, из-за ограниченности его математических способностей и физических способностей профессора Фейффермана, эта проблема в конечном итоге не была решена.
Переродившись, он снова прибыл в Принстон, снова начал сотрудничество с Фейфферманом, и объектом решения по-прежнему являются уравнения НС.
Это невольно заставляет вздохнуть: судьба действительно удивительна.
Принстонский институт перспективных исследований.
В кабинете Сюй Чуаня Фейфферман писал белым мелом на доске.
«λ1(u) ≤λ2(u) ≤ ··· ≤ λn(u) для i = 1,···, n, пусть ri(u) = (r1i(u),···, rni(u))t — правый собственный вектор, соответствующий λi(u): a(u)ri(u) = λi(u)ri(u).»
«π: g → u(h), gx h → h»
Рядом Сюй Чуань, не отрываясь, смотрел на доску.
А позади него четверо студентов, которые изначально делали домашнее задание, тоже с любопытством подошли и встали так, чтобы не мешать им, с интересом наблюдая.
Поначалу все четверо более или менее могли понять то, что профессор Фейфферман писал на доске, но со временем кто-то начал постепенно отставать.
Что касается того, что профессор Фейфферман писал на доске, то даже аспирантам было очень трудно это понять.
И когда мел на доске закончился и был заменён, на лицах четырёх студентов, присевших позади, появилось недоумение, и они начали тихо переговариваться.
В кабинете чуть более молодой Шахи Перес ткнул локтем старшего брата: «Дин, ты понимаешь, что пишет профессор Фейфферман? Что они вообще исследуют?»
Роджер Дин не отрывал взгляда от доски, но всё же ответил на вопрос своего младшего брата. Он покачал головой и тихо сказал: «Не знаю, но я предполагаю, что это проблема в области многообразий или групп Ли».
«Многообразия? Какая проблема в области многообразий стоит того, чтобы два лауреата Филдсовской премии объединили усилия?» — тихо пробормотал Шахи Перес.
Рядом Гу Бин, который тоже давно отстал, потёр немного уставшие глаза и сказал: «Конечно, есть».
«Например?»
«Уравнения Н-С!»
«Ты хочешь сказать, что профессора объединились, чтобы решить уравнения НС?»
«Я такого не говорил», — Гу Бин пожал плечами и тихо сказал.
Но это всё равно вызвало волнение в сердцах остальных. Неужели после гипотезы Ходжа их профессор собирается атаковать ещё одну из семи Задач тысячелетия?
Сюй Чуань не обращал внимания на бормотание студентов позади него. Он, не отрываясь, смотрел на формулы на доске.
На данный момент он был единственным, кто мог идти в ногу с Фейфферманом и понимать его ход мыслей.
В целом, Фейфферман использовал группу Ли с гладкой дифференцируемой структурой многообразия для выполнения гладкого отображения, позволяя унитарному представлению группы Ли G непрерывно действовать на гильбертовом пространстве, и эти действия могли сохранять неизменным внутреннее произведение пространства.
Другими словами, унитарное представление группы Ли G — это гомоморфное отображение из группы G в группу U(H) всех унитарных операторов на некотором гильбертовом пространстве H.
Формулы и уравнения на доске заставили глаза Сюй Чуаня сиять, как звёзды, сверкая светом.
В этом направлении мысли он увидел возможность продвижения в решении уравнений НС.
Это совершенно новый ход мыслей, отличный от исследований уравнений НС, которые Фейфферман и он проводили в прошлой жизни. Он был основан на расширении направления групп Ли, о котором он ранее упоминал, но при этом почти полностью от него отошёл.
Не зря профессор Фейфферман — самый молодой учёный, получивший звание профессора в университетах США.
Его знания и мышление, приносящие людям вдохновение, вызывают восхищение.
И если ваш ход мыслей верен, дверь надежды будет сиять в темноте, как маяк, направляя вас вперёд.
Это Сюй Чуань ощущал ещё в средней и старшей школе.
Иногда, когда он сталкивался с некоторыми задачами с выбором ответа или заполнением пропусков, которые он не мог решить, первый ответ, который интуитивно приходил ему в голову, часто оказывался правильным. Возможно, это и есть то, что обычные люди называют математическим талантом.
В кабинете, перед доской, заполнив обе стороны огромной передвижной доски математическими формулами, Фейфферман развернулся и посмотрел на Сюй Чуаня, стоявшего позади него.
«Сюй, из нашего общения несколько дней назад я получил некоторое вдохновение. Используя гладкие свойства группы Ли на структуре дифференцируемого многообразия, я распространил метод орбит на редуктивные группы Ли, что может помочь в исследовании глобального существования гладких решений трёхмерных несжимаемых уравнений Навье-Стокса».
Помолчав, он продолжил: «Но я чувствую, что если двигаться дальше, то, похоже, возникает проблема...»
Фейфферман не успел договорить, как Сюй Чуань продолжил: «Как на плоскости R2 можно построить пару ограниченных связных областей, границы которых очень негладкие, даже фрактальные, так, чтобы они были изоспектральными, но не изометрически изоморфными».
Услышав это, Фейфферман внезапно кивнул и сказал: «Неудивительно, что я никак не мог продвинуться дальше. Это проблема изоспектральности».
«Если бы мы могли её решить, возможно, мы смогли бы продвинуться дальше в решении уравнения сохранения импульса в уравнениях НС».
Глядя на формулы на доске, Сюй Чуань погладил подбородок и кивнул.
Он был согласен с утверждением Фейффермана.
Оба они — ведущие математики, и если у них возникло одно и то же мнение по одному и тому же вопросу, то за этим мнением, скорее всего, стоит правильный ответ.
Но проблема сейчас в том, что перед этой проблемой стоит гора, высоты которой не видно.
Никто из них двоих не знает, сколько времени потребуется, чтобы перелезть через неё или обойти.
И даже нет чёткого представления о том, как это сделать и какой путь выбрать.
Пять минут Сюй Чуань пристально смотрел на формулы на доске, прежде чем выйти из задумчивости, покачать головой и сказать:
"Боюсь, что эту проблему не так-то просто решить. Если я не ошибаюсь, она связана с другой сложной проблемой".
"Какой проблемой?" — быстро спросил Фейфферман.
"Гипотеза об изоспектральных неизометричных изоморфизмах".
Сюй Чуань произнес несколько слов, и на лице Фейффермана тут же появилось выражение понимания: "Так вот оно что".
Гипотеза об изоспектральных неизометричных изоморфизмах — это сложная проблема на стыке анализа (спектр эллиптических операторов), геометрии и топологии.
С момента её выдвижения и до сегодняшнего дня прошло не так много времени.
Это вопрос, поднятый Гордоном Уэббом Уолпертом в 1992 году, когда он совершил прорыв в области изоспектральности.
А именно: "Существует ли на плоскости R2 пара ограниченных связных областей с гладкими границами (по крайней мере, границами гладкости C1), которые являются изоспектральными, но не изометрически изоморфными?"
Эта проблема является сложной задачей на стыке трёх областей: анализа, геометрии и топологии, и не так много математиков интересуются ею.
В конце концов, иметь знания одновременно в трёх областях очень сложно. Не каждый является Теренсом Тао. Исследование математической проблемы в нескольких областях — очень сложная задача для подавляющего большинства математиков.
К тому же эта проблема не очень известна, и слава и выгода от её решения намного меньше, чем усилия, которые нужно приложить.
Изложив проблему, Сюй Чуань потёр переносицу и с некоторой головной болью продолжил: "Боюсь, что у меня пока нет особых идей по этому поводу".
Хотя он ранее уже решил проблему изоспектральности — гипотезу Вейля-Берри, гипотеза Вейля-Берри и гипотеза об изоспектральных неизометричных изоморфизмах — это две совершенно разные сложные проблемы в одной и той же области.
Задачи мирового уровня не так-то просто решить.
Даже просто вдохновение получить не так-то легко.
Фейфферман тоже не был удивлён, согласно кивнул и сказал: "Это же шаг в решении уравнений НС. Если бы это было так просто решить, мы бы уже давно получили результаты в продвижении уравнений НС".
Помолчав, он продолжил: "Не торопитесь, у нас ещё есть время".
"И к тому же за эти дни мы смогли продвинуться так далеко, что уже получили достаточно много. Сейчас самое время остановиться и отдохнуть, хорошенько переварить и систематизировать полученные знания".
"Кто знает, может быть, во время нашего переваривания и систематизации вдохновение само придёт к нам?"
Сюй Чуань кивнул, соглашаясь: "Тогда на сегодня, пожалуй, всё".
Общение и достижения этих дней действительно стоят того, чтобы потратить некоторое время на их систематизацию.
Фейфферман с улыбкой сказал: "Надеюсь, мы сможем решить эту проблему. Если у тебя появятся какие-нибудь новые идеи, пожалуйста, сообщи мне об этом как можно скорее".
"Конечно".
Профессор Фейфферман ушёл, и четверо студентов, которые съёжились в кабинете, изображая фон, быстро окружили его.
"Профессор, вы вместе с профессором Фейфферманом исследуете уравнения НС?"
— спросила Амелия, открыв свои голубые глаза. Остальные трое тоже смотрели с ожиданием.
Сюй Чуань кивнул и сказал: "Мы просто пробуем. Профессор Фейфферман — ведущий эксперт в этой области. Даже если у нас не получится, мы сможем многому научиться".
Услышав это, другой студент, Шахи Перес, быстро спросил: "Профессор, можем ли мы тоже принять участие в вашем проекте с профессором Фейфферманом? Даже если просто будем выполнять мелкие поручения".
Как только он это сказал, остальные трое студентов снова посмотрели с ожиданием.
Участие в исследовательском проекте двух ведущих экспертов, несомненно, заманчиво.
Сюй Чуань улыбнулся и сказал: "Если вы тоже хотите принять участие, поскорее закончите изучение инструментов отображения алгебраических многообразий и групп".
"Если вы пройдёте мою аттестацию до августа, возможно, у вас будет шанс принять участие".
"Что касается настоящего момента..."
Помолчав, Сюй Чуань пожал плечами и продолжил: "Мы с профессором Фейфферманом не нуждаемся в четырёх помощниках, которые будут варить кофе и подносить доски. Мы вполне можем делать это сами".
Услышав это, Шахи Перес бросил обиженный взгляд. В глазах профессора он сейчас всего лишь инструмент для варки кофе, это очень обидно.
К тому же, разобраться в инструментах отображения алгебраических многообразий и групп не так-то просто.
Весь этот месяц он изучал этот инструмент в виде научной статьи.
Но, честно говоря, даже для аспиранта эта штука слишком сложна, она затрагивает довольно много областей математики, и полностью разобраться в ней за несколько месяцев очень сложно.
Многое из того, что он не понимает, ему приходится искать в других учебниках для понимания.
Но по сравнению с другими людьми, которые также изучают этот инструмент, ему, несомненно, повезло, потому что его научный руководитель — создатель этого инструмента.
Каждый раз, когда он сталкивается с проблемой, он может получить идеальный ответ от своего молодого научного руководителя.
Это также заставляет Шахи Переса с каждым днём всё больше и больше уважать своего наставника.