Глава 186. Доказательство гипотезы Ходжа •
Попросив отпуск у Делиня, Сюй Чуань встал и вышел из общежития.
Прежде чем официально войти в эту неизведанную область гипотезы Ходжа, ему предстояло проделать еще много работы. Как в жизни, так и в математике.
Решение гипотезы Ходжа подобно первому плаванию человека по бескрайнему океану, никто не знает, есть ли в неизведанном океане другие земли, никто не знает, сможет ли он благополучно добраться до другого берега.
Единственное, что у него есть, - это только что построенная лодка.
А будет ли эта лодка опрокинута ветром и волнами, затонет ли она на дне моря, застрянет ли на рифах и не сможет двигаться после входа в неизведанный океан, Сюй Чуань тоже не знал.
Но, несмотря на это, он все равно должен был попробовать.
Потому что даже если проплыть всего лишь десять метров, это уже будет великим прорывом.
Закупив в магазине партию предметов первой необходимости, Сюй Чуань также одолжил в библиотеке Файрстоуна партию рукописей и материалов, касающихся гипотезы Ходжа.
Некоторые из них он уже просматривал раньше, а некоторые еще не листал.
Все это драгоценные знания, оставленные предшественниками, и некоторые из них вообще невозможно найти в Интернете. Потому что это всего лишь некоторые идеи и исходные теории какого-то математика, которые еще не сформировались.
Эти вещи, независимо от того, просматривал он их или нет, очень полезны для его штурма гипотезы Ходжа.
Однако при заимствовании этих вещей он столкнулся с немалой проблемой.
Библиотекой Файрстоуна заведовал неряшливый старик, волосы которого были растрепаны, как птичье гнездо, этот старик был ведущим экспертом в области сохранения бумажных материалов, но и чрезвычайно упрямым.
И этот упрямый старик все время не хотел одалживать так много литературы, полагая, что он, скорее всего, повредит или потеряет эти драгоценные рукописи.
Чтобы получить эту партию материалов, Сюй Чуань провел в библиотеке Файрстоуна целый день, и в конечном итоге его усилия привели лишь к тому, что тот согласился сложить их вместе и просматривать в библиотеке.
Но для Сюй Чуаня доказывать гипотезу Ходжа в библиотеке было не очень надежным путем.
Хотя здесь было очень тихо, но каждый день приходили и уходили люди.
Ничего не поделаешь, в конце концов, ему пришлось найти декана математического факультета Принстона, Дэвида Сью, дать ряд гарантий, изучить некоторые методы сохранения бумажных материалов и даже подписать гарантийное письмо, чтобы с трудом заставить того согласиться.
С большим количеством материалов Сюй Чуань вернулся в общежитие.
На самом деле, и без напоминания этого неряшливого старика из Германии, он бы хорошо защитил эти вещи.
Но сейчас, помимо хорошего хранения, для этих материалов большая ценность заключается в том, чтобы сыграть свою роль в гипотезе Ходжа.
Наверняка математики, создавшие эти знания, тоже так думали.
Для ученого никто не хочет видеть, как созданные им знания пылятся на полке, если знания не могут распространяться и использоваться, то для знаний они не имеют никакой ценности.
Закончив подготовку к вступлению в гипотезу Ходжа, Сюй Чуань снова заперся в общежитии.
Время шло, и в мгновение ока наступил золотой октябрь, клены, платаны и другие деревья за пределами общежития Рокфеллера начали покрываться золотистым оттенком. Время от времени несколько опавших листьев медленно опускались с ветром.
В комнате 306 фигура стояла у окна, глядя на платан, увешанный плодами.
Восход солнца просвечивал сквозь темно-синие облака, за окном переплетались золотисто-желтые и темно-зеленые листья, среди которых были вкраплены тяжелые плоды платана.
Глядя на пейзаж за окном, Сюй Чуань улыбался.
Осень - сезон сбора урожая.
Хотя исследование гипотезы Ходжа не было таким гладким, как он ожидал, он всегда был полон уверенности в конечном результате.
И вот прошло два месяца, и в этом неизведанном океане гипотезы Ходжа он, наконец, нашел береговую линию, появившуюся перед глазами.
Это был Новый Свет!
Глядя на пейзаж за окном, Сюй Чуань с улыбкой повернулся и вернулся к столу.
Хотя гипотеза Ходжа еще не была идеально решена, он уже видел ту линию горизонта, где пересекается берег, видел тот Новый Свет, возвышающийся на горизонте.
Осталось только приложить усилия, чтобы подвести свою лодку к нему.
Подняв со стола шариковую ручку, Сюй Чуань продолжил писать там, где не дописал ранее:
". Пусть V - алгебраическое многообразие в комплексном проективном пространстве, V' - множество регулярных точек V. Группа когомологий L2-де Рама на V' относительно метрики Фубини-Штуди изоморфна группе пересечений когомологий V."
"Если Y - замкнутое подалгебраическое многообразие X коразмерности j, определенное над k, то мы имеем стандартное отображение: tr : H2(n-j)(Yk k, Q')(n-j) → Q', где (n-j) - это n-j-й твист Тэйта Q'(n-j).
Это отображение с отображением ограничения: H2(n-j)(Xk k, Q')(n-j) → H2(n-j)(Y, Q')(n-j)".
"."
"Согласно теореме двойственности Пуанкаре: Hom(H2(n-j)(Xk k, Q')(n-j), Q') = H2j(Xk k, Q')(j)"
Время понемногу утекало под его пером, Сюй Чуань полностью сосредоточился на последнем прорыве.
Наконец, острие его ручки внезапно повернулось.
". Основываясь на отображении tr, отображении ограничения и Пуанкаре, теоремы двойственности совместимы с действием Gal(k/k), поэтому действие Gal(k/k) на класс когомологий, определенный Y, также тривиально. Тогда aj(X) - это Q-векторное пространство в H2j(Xk k, Q')(j), порожденное классами когомологий замкнутых подалгебраических многообразий X коразмерности j, определенных над k."
"Когда i ≤ n/2, квадратичная форма x → (1)ilr2i(x.x) на ai(X)n ker(ln2i+1) положительно определена."
"Следовательно, на несингулярном комплексном проективном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа является рациональной линейной комбинацией классов алгебраических замкнутых цепей."
"То есть, гипотеза Ходжа верна!"
Шариковая ручка в руке поставила последнюю точку на чистом листе бумаги, Сюй Чуань вздохнул с облегчением, отбросил ручку в сторону, откинулся на спинку стула и уставился в потолок, ошеломленно глядя в пустоту.
Когда последний символ упал на бумагу, в его сердце не было ни возбуждения, ни радости, ни удовлетворения, ни чувства выполненного долга.
Вместо этого было какое-то недоверчивое замешательство.
Потратив более четырех месяцев, начиная с рукописи, оставленной ему профессором Мирзахани, до решения проблемы "неприводимой декомпозиции дифференциальных алгебраических многообразий", затем до совершенствования инструмента отображения алгебраических многообразий и групп, и до окончательного решения гипотезы Ходжа.
На этом пути он пережил слишком многое.
Долго глядя на потолок, Сюй Чуань наконец пришел в себя, и его взгляд упал на рукопись на столе перед ним.
Полностью просмотрев все рукописи и убедившись, что это действительно его работа, он, наконец, расплылся в сияющей улыбке, яркой, как солнечный свет, проникающий в окно.
Если не произойдет ничего неожиданного, то он добился успеха.
Успешно решил проблему века - гипотезу Ходжа.
Хотя он еще не знает, выдержит ли она испытание другими математиками и временем.
Но в любом случае, он снова сделал большой шаг в математике. Закончив статью с доказательством гипотезы Ходжа, Сюй Чуань потратил еще некоторое время, чтобы еще раз просмотреть все, что было на рукописи, и доработать некоторые другие детали.
Закончив с этим, он начал приводить все в порядок в своем ноутбуке.
А затем подготовился к публикации.
Для доказательства любой математической гипотезы, доказывающий не имеет права давать оценку ее правильности.
Только полная публикация и прохождение рецензирования и испытания временем могут определить, действительно ли она успешна.
Потратив целую неделю, Сюй Чуань, наконец, ввел в компьютер почти сто страниц рукописи.
Более трети из этих ста страниц доказательства занимало объяснение и обоснование инструмента отображения алгебраических многообразий и групп для решения гипотезы Ходжа, а еще треть - теоретическая основа, построенная для гипотезы Ходжа и инструмента отображения алгебраических многообразий и групп.
Оставшаяся часть - это процесс доказательства гипотезы Ходжа.
Для этой статьи инструмент и структура являются ее основой.
Если бы он захотел, то мог бы полностью разделить инструмент и теоретическую основу и опубликовать их как отдельные статьи.
Как и "Теория p-адических совершенных пространств" Петера Шольца.
Этих вещей, если они в конечном итоге будут приняты математическим сообществом, достаточно, чтобы он получил Филдсовскую премию.
Дело не в дешевизне Филдсовской премии, а в важности математических инструментов для математики.
Выдающийся математический инструмент может решить не только одну проблему.
Это как топор: его можно использовать не только для рубки деревьев, но и в качестве инструмента для плотницких работ, обработки изделий, а также в качестве оружия для сражений.
Точно так же, созданный им инструмент отображения алгебраических многообразий и групп не ограничивается гипотезой Ходжа.
Его можно использовать для решения многих задач, связанных с алгебраическими многообразиями, дифференциальными формами и полиномиальными уравнениями, и даже для задач в области алгебраической топологии.
Например, "гипотеза Блоха", принадлежащая к тому же семейству гипотез, что и гипотеза Ходжа, проблема "теория Ходжа алгебраических поверхностей должна определять, является ли группа Чжоу нулевых циклов конечномерной", а также гипотеза об изоморфизме некоторых групп мотивных когомологий с конечными коэффициентами в этальные когомологии и так далее.
Эти гипотезы и проблемы поддерживают друг друга, и математики постоянно добиваются прогресса в одной или другой из них, пытаясь доказать, что они ведут к огромным достижениям в теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии.
Инструмент отображения алгебраических многообразий и групп может решить гипотезу Ходжа, поэтому он может сыграть по крайней мере некоторую роль в гипотезах того же типа, если не полностью адаптироваться к ним.
Поскольку гипотеза Ходжа сама по себе является гипотезой, изучающей связь между алгебраической топологией и геометрией, выраженной полиномиальными уравнениями.
То, что она изучает, - это не самые передовые математические знания, а установление фундаментальной связи между тремя дисциплинами: алгебраической геометрией, анализом и топологией.
Решение этой проблемы требует от доказывающего глубокого понимания математики во всех трех областях.
Для большинства математиков довольно сложно иметь глубокие исследования в одной из трех областей: алгебраической геометрии, анализа и топологии, не говоря уже о том, чтобы овладеть всеми тремя областями.
Что касается Сюй Чуаня, то анализ и топология были областями математики, которыми он овладел в своей прошлой жизни, и только алгебраическая геометрия не входила в сферу его исследований.
Но в этой жизни, следуя за Делинем в углубленном изучении математики, и имея такого наставника, его прогресс в алгебраической геометрии превзошел все ожидания.
Закончив редакрование и ввод в компьютер статьи с доказательством гипотезы Ходжа, Сюй Чуань преобразовал ее в формат PDF, а затем отправил по электронной почте своим наставникам Делиню и Виттену.
Подумав, он также загрузил ее на сайт препринтов arXiv.
Хотя сайт препринтов arXiv постепенно превращается в место для компьютерщиков, на нем все еще есть большое количество математиков и физиков.
Размещение неопубликованной статьи не только может предотвратить плагиат, но и заранее расширить влияние статьи.
Для статьи с доказательством такой проблемы, как гипотеза Ходжа, время, необходимое для полной проверки, несомненно, будет довольно долгим.
Например, трехмерный случай "гипотезы Пуанкаре" был доказан математиком Григорием Перельманом примерно в 2003 году, но только в 2006 году математическое сообщество окончательно подтвердило, что доказательство Перельмана решило гипотезу Пуанкаре.
Конечно, это также связано с тем, что Перельман практически отказался от всех присужденных ему наград и жил в уединении.
В конце концов, если доказывающий гипотезу не будет продвигать свой метод и процесс доказательства, другим будет практически невозможно быстро понять этот метод.
Особенно в области математики.
Для статьи с доказательством, если создатель не объяснит и не ответит на вопросы других коллег, другим математикам будет очень сложно полностью понять эту статью.
Кроме того, процесс принятия математическим сообществом такой важной гипотезы, как математическая задача тысячелетия, обычно довольно длительный.
В конце концов, ее правильность или неправильность имеет огромное значение.
Как, например, гипотеза Римана, предложенная математиком Бернхардом Риманом в 1859 году, и на сегодняшний день в математической литературе существует более тысячи математических утверждений, основанных на предположении, что гипотеза Римана (или ее обобщенная форма) верна.
Если гипотеза Римана будет опровергнута, то не то чтобы рухнет все здание математики, но, по крайней мере, обширная область, связанная с гипотезой Римана, от теории чисел до функций, анализа и геометрии, можно сказать, что почти вся математика претерпит серьезные изменения.
И как только гипотеза Римана будет доказана, тысячи математических утверждений или гипотез, построенных вокруг нее, станут теоремами. История математики человечества вступит в эпоху беспрецедентного процветания.
На самом деле, скорость рецензирования доказательства проблемы или гипотезы во многом зависит от популярности этой проблемы или гипотезы, а также от того, насколько далеко продвинулось математическое сообщество в изучении этой проблемы или гипотезы.
В дополнение к этому, есть методы, теории и инструменты, используемые для доказательства этой проблемы или гипотезы.
Например, когда он ранее доказывал слабую гипотезу Вейля-Берри, он всего лишь сделал некоторые инновации в теории симметричной структуры банахова пространства и спектральной асимптотике в связных областях с фрактальными границами, используя фрактальный барабан, чтобы сделать отверстие для связанной счетной функции.
Поэтому процесс доказательства слабой гипотезы Вейля-Берри был быстро принят профессором Гауэрсом.
А в процессе доказательства гипотезы Вейля-Берри он сделал прорыв в предыдущем методе, ограничив фрактальную размерность Ω и спектр фрактальной меры через область Дирихле, а затем дополнив это расширением области и преобразованием функции в подгруппу и установлением связи с промежуточной областью и объединением.
Математическому сообществу потребовалось гораздо больше времени, чтобы принять этот метод.
Даже несмотря на то, что его статья была в конечном итоге рецензирована шестью ведущими экспертами, четверо из которых были лауреатами Филдсовской премии, и он был на месте, чтобы ответить на вопросы, потребовалось много времени, чтобы ее подтвердить.
И по сей день, не так много людей во всем математическом сообществе, которые могут полностью понять процесс доказательства гипотезы Вейля-Берри.
Даже несмотря на то, что позже он распространил этот метод на астрономическое сообщество, повысив его значимость.
Что же касается процесса доказательства гипотезы Ходжа, который сейчас находится в его руках, то и говорить нечего.
Одному богу известно, сколько времени потребуется математическому сообществу, чтобы полностью принять эту статью.
Год? Три года? Пять лет? Или еще дольше?
В течение этого долгого времени Сюй Чуань не хотел, чтобы его статья пылилась на полке.
Он надеялся, что к ней присоединится больше математиков и даже физиков, чтобы расширить и применить ее, применить к большему количеству и более широким областям.