Глава 73. Доказательство ослабленной гипотезы Вейля-Берри •
После разговора с Чжоу Хаем в аудитории о гипотезе Вейля-Берри Сюй Чуань снова заперся в библиотеке.
Надо сказать, что, хотя гипотеза Вейля-Берри — это гипотеза мирового уровня, и по сложности её можно отнести к уровню T3, информации об этой гипотезе действительно немного.
Однако в ходе исследований Сюй Чуань неожиданно обнаружил, что первая асимптотическая теорема гипотезы Вейля, предшественницы гипотезы Вейля-Берри, и условие квантования Зоммерфельда в ранней квантовой механике — это, по сути, одно и то же, только разными путями.
Это ещё больше подогрело его интерес к гипотезе Вейля-Берри.
Действительно, математика и физика дополняют друг друга!
Более месяца подряд Сюй Чуань в библиотеке впитывал знания, относящиеся к гипотезе Вейля-Берри.
Начиная с эллиптических операторов, переходя к дифференциальным операторам и операторам Лапласа, Сюй Чуань не упустил ни одной базовой книги, связанной с гипотезой Вейля-Берри.
В библиотеке Сюй Чуань закрыл книгу, которую держал в руках, затем достал из портфеля свой ноутбук, создал новый документ и написал:
【О спектральной асимптотике и доказательстве ослабленной гипотезы Вейля-Берри для связных областей с фрактальной границей!】
Долгое время обучения, а также математические знания, принесённые с собой из прошлой жизни, дали ему достаточно глубокое понимание спектральной асимптотики для связных областей с фрактальной границей.
Хотя напрямую доказать гипотезу Вейля-Берри пока невозможно, но после ослабления гипотезы Вейля-Берри, чтобы она удовлетворяла условию «разреза» для связных фрактальных барабанов, Сюй Чуань считает, что можно попробовать с классом естественно связных фрактальных барабанов.
По крайней мере, в этой области у него уже есть некоторые идеи, и независимо от того, получится ли, он может их записать.
【Введение: в 1993 году Лапидус и Померанс доказали, что одномерная гипотеза Вейля-Берри верна, но для многомерной гипотезы Вейля-Берри ситуация становится очень сложной, многомерная гипотеза Вейля-Берри в общем случае больше не выполняется в структуре Минковского.】
【Но в то же время два математика, Левитин М. и Васильев, доказали, что для особого класса многомерных примеров гипотеза Вейля-Берри выполняется в структуре Минковского.】
【Всё это показывает, что использование структуры Минковского не может полностью охватить всю сложность проблемы, поэтому правильная формулировка гипотезы Вейля-Берри должна быть следующей:
"Существует ли некая фрактальная структура, такая, что граница Ω измерима в этой фрактальной структуре, и при этом гипотеза Вейля-Берри выполняется в этой фрактальной структуре?"】
Написав заголовок и введение, Сюй Чуань пропустил основной текст, оставив несколько пустых строк.
Список литературы:
【[1] Кигами Дж., Лапидус М. Л. Задача Вейля о спектральном распределении оператора Лапласа, п. ц. ф. самоподобные множества. Журнал математики и физики, 1993, 158: 93-125】
【[2] Спектральная асимптотика, теоремы восстановления и гипотеза Берри для класса фракталов. Журнал математики и инженерии, 1996, 72(3): 188-214】
【...】
Цитируемой литературы немного, меньше, чем пальцев на одной руке.
Это говорит лишь о том, что мало кто внёс сколько-нибудь значимый вклад в эту область.
И действительно, с тех пор как в 1979 году физик из Великобритании М. В. Берри, исследуя рассеяние световых волн на фрактальных объектах, обобщил гипотезу Вейля на случай, когда Ω является фрактальной областью, на протяжении десятилетий бесчисленное множество математиков, любителей математики и физиков работали в области спектральной асимптотики для связных областей с фрактальной границей.
Однако за тридцать лет, прошедших с тех пор, за исключением 1993 года, когда два математика, Лапидус и Померанс, доказали, что одномерная гипотеза Вейля-Берри верна, практически не было никаких новых результатов.
Но в этом и заключается очарование математики и физики: гипотезы, как спелые плоды, висят на дереве, и каждый математик или физик видит их манящую красноту и сочную форму. Остаётся только, чтобы математик или физик построил лестницу, поднялся и сорвал их.
Ну, сэр Исаак Ньютон — исключение, другие строят лестницы, чтобы подняться и сорвать, а ему яблоко само упало на голову.
Написав заголовок и введение, Сюй Чуань отложил компьютер в сторону, достал из портфеля стопку бумаги формата А4 и начал записывать свои мысли.
Библиотека Нанкинского университета большая, и в некоторых её зонах довольно тихо.
Например, там, где он сейчас находился, хранились довольно редкие книги, и вокруг почти никого не было, поэтому Сюй Чуаню было лень возвращаться в общежитие.
Пусть Ω ⊂ ℝⁿ — ограниченное открытое множество, рассмотрим следующую задачу на собственные значения для оператора Дирихле-Лапласа: (P) { -Δu = λu, x ∈ Ω; u|∂Ω = 0
Тогда задача (P) имеет дискретный спектр {λᵢ}ᵢ∈ℕ, который можно упорядочить в последовательность: 0 less λ₁ ≤ λ₂ ≤ ... ≤ λₖ ≤ ...
Здесь lim (k→+∞) λₖ = +∞, и нас интересует вопрос, какие геометрические величины Ω являются спектрально инвариантными (то есть однозначно определяются спектром {λᵢ}ᵢ∈ℕ).
Эта проблема связана с изучением асимптотического поведения собственных значений λₖ при k → +∞. Для λ ] 0 определим...
Чёрная ручка в его руке непрерывно выводила на белой бумаге символы и текст.
Для Сюй Чуаня, погрузившегося в процесс доказательства, всё вокруг перестало существовать, в его глазах остались только бумага и ручка на столе, а также строки формул и текста, исходящие из его разума.
Когда цифры и теоремы, формулы и символы танцуют под кончиком пера, красота, рождаемая этим совершенным ритмом, постоянно всплывает в сознании Сюй Чуаня, заставляя его забыться.
В этом и заключается очарование математики: переплетающиеся цифры и символы, словно письмена дьявола, несут в себе истину мира.
Время шло, и бумага на столе постепенно заполнялась чёрными записями.
Имея чёткое представление о направлении, Сюй Чуаню не составляло труда гладко изложить процесс доказательства.
Даже если в процессе написания и возникали какие-то математические вычисления, они задерживали его лишь на несколько минут.
Тем временем, парень, только что написавший заголовок своей дипломной работы, потянулся и собрался идти ужинать.
Внезапно его внимание привлёк Сюй Чуань, непрерывно что-то писавший рядом.
Он пришёл сюда в шесть утра, и этот человек уже был здесь, а сейчас шесть вечера, он уже собирался идти ужинать, а этот человек всё ещё сидел здесь, что невольно вызвало у него любопытство.
Судя по густым волосам и ещё по-детски нежному лицу, это, должно быть, студент бакалавриата?
Но над какой задачей он работает, функциональный анализ или вещественный анализ? Целый день вычисляет и до сих пор не решил?
Хотя ему было любопытно, он не стал беспокоить другого человека, проходя мимо, он даже немного замедлил шаг, чтобы не мешать этому младшему товарищу, и одновременно заглянул в бумаги на столе.
Если это функциональный анализ или вещественный анализ, то есть материал бакалавриата, он смог бы помочь этому младшему школьнику, а заодно и покрасоваться перед новичком.
Прошу читать, читать и ещё раз читать.
Важное дело, повторю трижды, сейчас мы уже на четвёртом раунде рекомендаций, на следующем раунде можно будет подать заявку на Саньцзян, Саньцзян всегда был мечтой Бавэй, прошу всех помочь.