Глава 72. Можете ли вы услышать форму барабана •
Чжоу Хай пододвинул стул и сел, готовясь обсудить с Сюй Чуанем эту тему.
Да, именно обсудить, а не наставить.
По его мнению, математические способности Сюй Чуаня, который смог исследовать проблему ветви слабой гипотезы Вейля-Берри, уже достигли определённого уровня.
«Истоки гипотезы Вейля-Берри восходят к математику Марку Кацу, который в 1966 году на одной из лекций задал вопрос, вошедший в историю науки: „Может ли кто-нибудь по звуку определить форму барабана?“»
— По звуку определить форму барабана? И такое возможно? — с любопытством спросил один из студентов, подошедший послушать.
Чжоу Хай улыбнулся, не обращая внимания на то, что студент прервал его речь. Университет и старшая школа — это две совершенно разные учебные среды.
В университете некоторые преподаватели, помимо передачи знаний на занятиях, часто общаются со студентами.
Ведь студенты молоды, и их мышление иногда бывает очень особенным, что может принести неожиданные сюрпризы.
И к тому же, использование историй для пробуждения любопытства студентов к определённой области и вовлечения их в учебный процесс гораздо эффективнее, чем насильственное вдалбливание знаний, и такой метод обучения больше подходит для университета.
«С математической точки зрения, если натянуть мембрану на жёсткий каркас, то получится двумерный барабан».
«Барабаны разной формы при ударе издают звуковые волны разной частоты, поэтому и звуки получаются разными».
«По этим разным звукам действительно можно определить форму барабана».
«Это связано с исследованиями двух математиков — Алена Конна и Вальтера ван Суийлекома».
«Они расширили традиционную структуру некоммутативной геометрии, чтобы работать со спектральными усечениями геометрических пространств и отношениями допуска, которые обеспечивают грубое приближение геометрических пространств при конечном разрешении, и использовали спектральное усечение окружности, чтобы определить число распространения для операторных систем, и доказали, что оно является инвариантом при стабильной эквивалентности и может использоваться для сравнения приближений одного и того же пространства».
«И в этих рамках с помощью волнового уравнения мы можем описать колебания „барабана“ при ударе, а поскольку края „мембраны“ плотно прилегают к жёсткому каркасу, мы можем считать, что граничные условия волнового уравнения являются граничными условиями Дирихле».
«Имея эти два блока данных, а затем используя метод уравнения диффузии и другие методы, мы можем по звуку барабана вычислить его форму, даже если вы его никогда не видели».
Чжоу Хай с улыбкой объяснил, но прямо ошеломил студентов, которые подошли послушать.
Что такое спектральное усечение геометрических пространств? А что такое спектральное усечение окружности?
Они все знали, что значит определить местоположение по звуку, но определить форму по звуку — об этом они никогда не слышали.
Неужели математика действительно способна на такое? Это же не мистика!
Одним щелчком пальцев узнать, что произошло, — это уж слишком, не правда ли?
Но Сюй Чуань, в общем, понял, что имел в виду Чжоу Хай.
Так называемое «определение формы по звуку барабана» — это, по сути, проблема собственных значений оператора Лапласа в некоторой области.
Чтобы математически «определить форму по звуку барабана», нужно обратиться к другому понятию.
Это «воображение диффузии».
Все мы знаем, что если капнуть каплю чернил в чистую воду, то чернила со временем будут рассеиваться.
Это и есть явление диффузии.
Например, если вы прижмёте друг к другу кусок меди и кусок железа, то через некоторое время с помощью приборов вы обнаружите, что на поверхности железа есть медь, а на поверхности меди — железо. Это тоже относится к диффузии, просто процесс идёт очень медленно.
То же самое и со звуком. А звук, издаваемый барабаном, при чётко определённых граничных условиях Дирихле и начальных условиях колебаний, если подставить время и уравнение диффузии, действительно можно вычислить форму и размер этого барабана.
Математика настолько удивительна, что вещи, которые обычным людям кажутся невероятными или даже мистическими, в математике можно шаг за шагом вычислить.
Благодаря объяснению профессора Чжоу Хая, Сюй Чуань в общих чертах понял, что такое спектральная асимптотика эллиптических операторов и гипотеза Вейля-Берри.
Проще говоря, можно рассматривать предыдущее «определение формы барабана по звуку» как двумерную гипотезу Вейля-Берри.
Математики прошлого уже доказали это, но не доказали гипотезу Вейля-Берри для трёхмерного или более сложного случая.
Сейчас требуется, чтобы математики нашли фрактальную структуру, при которой гипотеза Вейля-Берри для трёхмерного или более сложного случая выполнялась бы, и чтобы Ω была измерима в этой фрактальной структуре.
Цель именно такова.
Что касается того, для чего конкретно может пригодиться доказательство этой штуки?
Наверное, для изучения формы небесных тел во Вселенной и размеров Вселенной может пригодиться, а что касается остального, то на данный момент, пожалуй, больше нет областей, где эта гипотеза могла бы найти практическое применение.
Но математика, честно говоря, современная математика на самом деле уже очень далека от понятия «полезности».
Если у человека нет сильного внутреннего интереса к математике, то ему, похоже, трудно ответить на вопрос «зачем мне изучать математику».
Ричард Фейнман, которого в прошлом веке называли «универсальным физиком», в молодости подумывал о том, чтобы выбрать математику в качестве своей специальности.
Но когда он пошёл на математический факультет, чтобы проконсультироваться, он задал вопрос: «Какая польза от изучения математики?».
И тогда старый профессор математического факультета сказал ему, что раз он задаёт такой вопрос, значит, он не принадлежит этому месту, он не принадлежит математическому факультету.
А потом этот великий человек пошёл изучать физику.
Известная нам сегодня единица измерения расстояния «нанометр» была предложена именно им.
Математика — это чисто абстрактный продукт, определения и логика — краеугольные камни, составляющие математическую систему.
Математики обычно не заботятся о том, как математические понятия и выводы связаны с реальным миром; математические заключения не обязательно имеют прототипы в реальном мире.
Однако с развитием науки, техники и общества некоторые результаты, которые ранее считались не имеющими практического значения, могут обрести смысл.
Например, «антивещество», которое он изучал в прошлой жизни, имеет определённую связь с отрицательными корнями квадратных уравнений, которые сейчас кажутся совершенно бесполезными.
Это похоже на то, как вы изучаете математический анализ, но при обычной покупке продуктов он вам совершенно не нужен, и вы считаете его бесполезным.
Известный исторический деятель, император Канси, тоже задавался вопросом, какая польза от математического анализа.
Позже он, вероятно, решил, что «для того, чтобы схватить Обоя, усмирить три феодальных удела, вернуть Тайвань, справиться с борьбой девяти принцев за престол, управлять Хуанхэ, писать восьмичленные сочинения и возделывать поля», нигде не нужен математический анализ, и поэтому решил, что нет необходимости его распространять.
Однако с течением времени развитие и применение математического анализа повлияло практически на все сферы современной жизни.
От расчёта полёта современных ракет до приёма таблетки от простуды — везде нужен математический анализ.
Потому что, зная закономерности распада лекарства в организме, с помощью математического анализа можно вывести график приёма лекарств.
Так что не говорите, что математика бесполезна, если бы математика была бесполезна, вы бы даже не знали, когда принимать лекарство.