Глава 31. История олимпиады и вступительных экзаменов •
«Задачки-то непростые попались».
Получив экзаменационный лист, Сюй Чуань целых пять минут смотрел на первую большую задачу по геометрии, прежде чем вздохнуть.
В одной задаче по планиметрии были использованы почти все пять аксиом и пять постулатов Евклидовой геометрии, можно сказать, что геометрические свойства плоского пространства были раскрыты в полной мере.
Самое главное, что эта задача практически исключала применение большей части знаний по геометрии, которые изучаются в университете, будь то новая теория геометрии принца Гаусса или абсолютная геометрия и неевклидова геометрия бога Бойяи.
Профессор, составивший эту задачу, определённо имеет большие достижения в геометрии.
В Китае не так много математиков, добившихся значительных успехов в геометрии, Сюй Чуань подумал, что самые известные из них — это, пожалуй, старина Цю и старина Чэнь.
Но вероятность того, что задачу составил кто-то из этих мэтров, практически равна нулю.
Хотя старина Цю и достиг больших высот в геометрии и сейчас находится в Китае, его достижения в основном относятся к дифференциальной геометрии, а в планиметрии он не считается лучшим.
К тому же, этот мэтр уже в преклонном возрасте, и вряд ли он так хорошо помнит геометрические знания, изучаемые в старшей школе и университете.
Что касается старины Чэня, то он скончался десять лет назад, и уж он-то точно не мог составить задачу.
Однако это напомнило Сюй Чую о другом человеке в Китае — последнем ученике старины Чэня, академике Чжан Вэйпине.
Этот мэтр в 2008 году был удостоен звания академика Академии наук, сейчас он в самом расцвете сил, к тому же, будучи последним учеником старины Чэня, он закономерно пошёл по пути геометрии и, можно сказать, достиг значительных высот в планиметрии.
Если бы задачу составлял он, то вполне мог бы справиться.
На самом деле, Сюй Чуань был прав: обе геометрические задачи на IMO в этом году, вчерашнюю и сегодняшнюю, составил академик Чжан Вэйпин.
Этот мэтр как раз в прошлом году стал членом десятого совета Математического общества.
А преподавателей, составляющих задачи для CMO, обычно выбирают из членов совета Математического общества. В 2014 году, то есть в этом году, этот мэтр лично составил две геометрические задачи и включил их в национальный финал математической олимпиады 2014 года.
В результате все участники CMO 2014 года потерпели полное поражение, никто из более чем четырёхсот человек не получил максимальный балл.
В то же время этот мэтр ещё и просмотрел остальные экзаменационные задания, в результате чего результаты CMO в этом году были плачевными: больше 100 баллов не набрало и пяти человек.
Это привело к тому, что проходной балл в сборную в этом году упал с обычных 85 баллов и выше до 65 баллов, то есть проходной балл снизился почти на 20 баллов.
Но на этом история этого мэтра не закончилась.
Позже он участвовал в составлении заданий для CMO 2015 и 2016 годов, в результате чего результаты этих двух олимпиад также были крайне плачевными.
В 2015 году он одной задачей по стереометрии сразил наповал всех участников олимпиады того года.
Из 21 балла за задачу только несколько из сотен участников со всей страны смогли получить 7 баллов за первый вопрос, остальные сдали пустые листы.
В 2016 году задача также была на 21 балл, и снова ни одного максимального балла.
Максимальный балл? С этим мэтром об этом можно было и не мечтать.
Одним словом — кошмар, что тут скажешь?
Позже Математическое общество больше не привлекало этого мэтра к составлению задач, опасаясь подорвать уверенность участников.
Но за три раза он прославился в кругах математических олимпиад не меньше, чем мэтр Гэ Цзюнь, специализирующийся на вступительных экзаменах.
Участники тех трёх CMO, услышав имя этого мэтра, начинали дрожать.
«Вот это да, в этом году в CMO участвует такой супермэтр в качестве составителя задач».
Хотя Сюй Чуань и не был уверен, что эта геометрическая задача была составлена именно академиком Чжан Вэйпином, но преподаватель, составивший эту задачу, определённо был примерно на том же уровне.
Эта геометрическая задача в высшей степени проверяла способность учащихся к дедукции и наблюдению за рисунком, требовалось как минимум три вспомогательные линии, чтобы точно вывести искомый угол.
Вздохнув, Сюй Чуань взял транспортир и приложил к геометрическому рисунку, убедившись, что угол совпадает с его предположениями, он начал рисовать вспомогательные линии на экзаменационном листе. На этот раз геометрический рисунок в задаче был слишком сложным, и ему было лень перерисовывать его на черновик.
На самом деле, в геометрических задачах есть довольно простой способ определить искомые значения и углы.
Это возвращение к истокам, то есть прямое измерение транспортиром, но это работает только для планиметрии.
Этот метод может решить более девяноста процентов геометрических задач.
Конечно, он может дать только ответ, а процесс доказательства всё равно нужно писать самому.
После того, как вспомогательные линии были нарисованы, оставшееся доказательство для Сюй Чуаня было уже несложным, хотя процесс доказательства был довольно сложным, но если уж он покорил Эверест, то разве он не поднимется на Тайшань?
Решение: Согласно теореме Паскаля, точки P, Q, R лежат на одной прямой, так как ∠DTF = AC + DF/2 = AB + DF/2 =
Поэтому, продлив QK до пересечения с BC, получаем SK/KT = BN/NC.
Аналогично, можно узнать, что △CQN∽△APC, и CN = QN·AB/PB, следовательно, BN/NC =
Повернём △ABP вокруг точки A до △ACL.
Можно доказать, что угол ∠KIP равен тридцати пяти градусам.
Доказано!
Чёрная ручка в руке непрерывно выводила строки формул на листе ответов, почти заполнив весь лист формата А4, и только тогда решение геометрической задачи было завершено.
В процессе решения были использованы почти все двадцать шесть букв, а также пришлось использовать такие символы, как a₁ и a₂, для обозначения вспомогательных линий, что показывает сложность этой задачи.
Решив первую задачу, Сюй Чуань вздохнул с облегчением и поднял глаза на часы на доске в классе: девять тридцать пять.
Это был самый долгий раз, когда он решал задачу на математической олимпиаде, потратив на неё целых полчаса.
Не зря задачу составил человек, не уступающий по известности математическому императору Гэ Цзюню, если даже ему было так сложно, то другим ученикам, вероятно, ещё сложнее.
Подумав об этом, Сюй Чуань повернул голову и оглядел класс.
То, чего не было вчера, появилось сегодня.
Ряд учеников либо смотрели в потолок, либо опускали глаза в пол.
Эти ученики, которые вчера в первой половине были полны энтузиазма и считали, что CMO в этом году не так уж и сложен, сегодня были просто ошеломлены.
В национальном финале математической олимпиады нет ни тестовых заданий, ни заданий с пропусками, так что они не могли даже бросить кости или бумажный шарик, чтобы угадать ответ.
Максимум, что они могли написать, это «Решение».
Всё остальное — пустое место.
Это, вероятно, и есть «Я тоже так могу?»
Одна геометрическая задача поставила в тупик сотни учеников, те, кто поумнее, уже обошли её и перешли к следующей задаче.
Но во второй половине национального финала математической олимпиады разве бывают лёгкие задачи?
Тем более, что в этом году все задачи были просмотрены мэтром Чжаном, и сложность, даже если и уступала геометрической, то ненамного.
Потратив полтора часа, Сюй Чуань методично решил три большие задачи.
Тщательно проверив дважды и убедившись, что ошибок нет, он досрочно сдал работу и покинул аудиторию.
Этот поступок окончательно вывел из себя других учеников в аудитории: кто-то стиснул зубы, кто-то молча опустил голову, а кто-то, решившись, тоже досрочно сдал работу и ушёл.
В конце концов, при такой сложной задаче сдать пустую работу вместе со всеми — это нормально, верно?
Ведь не только у меня пустая работа.