Глава 30. Сложная вторая половина •
Решение: сначала проведём вспомогательные линии EI, FI, BI, CI.
Достаточность: если BC=BE+CF, то можно взять на стороне BC точку K такую, что BK=BE, тогда CK=CF, соединим KI.
Возьмём на биссектрисе AD угла ∠BAC центр вписанной окружности △ABC — точку I, соединим. Так как BI делит пополам ∠ABC, а CI делит пополам ∠ACB, то △BIK и △BIE симметричны относительно BI, а △CIK и △CIF симметричны относительно CI.
Следовательно, ∠BEI=∠BKI=π-∠CKI=π-∠CFI=∠AFI, значит, точки A, E, I, F лежат на одной окружности.
Учитывая, что точки B, E, F, C лежат на одной окружности.
Необходимость: если центр вписанной окружности △ABC — точка I — является центром описанной окружности △DEF, то, поскольку AE≠AF (фактически, из-за того, что точки B, E, F, C лежат на одной окружности), то
Следовательно, BC=BK+CK=BE+CF.
Необходимость доказана.
За десять минут Сюй Чуань успешно справился с первой большой задачей.
Сложность этой задачи не очень велика, ключевых моментов два: первый — использовать четыре вспомогательные линии EI, FI, BI, CI, чтобы найти вспомогательную линию KI.
Второй — использование значения π.
Это редко используемый момент в решении треугольников и доказательстве принадлежности точек одной окружности в школьной геометрии, но если овладеть этими двумя моментами, то решить первую задачу не составит труда.
Прошло полчаса, и вторая задача на нахождение множества целых чисел, сложность которой была повыше, тоже пала.
«Задачи в этом году, кажется, не такие уж и сложные».
Посмотрев на последнюю задачу по функциям, Сюй Чуань погладил подбородок, окинул взглядом аудиторию: большинство учеников, опустив головы, решали задачи, что подтверждало его догадку.
Ведь если бы сложность задач была высокой, то наверняка нашлись бы ученики, смотрящие в потолок.
Это явление он наблюдал на олимпиадах обеих жизней.
«Ладно, побыстрее решу третью задачу, сдам работу и пойду пробовать местную кухню».
Сюй Чуань покачал головой и снова сосредоточился на экзаменационном листе.
В Башу он приехал впервые, но вчерашняя еда в столовой средней школы Башу оставила у него хорошее впечатление об этом месте.
Если уж в школе могут так готовить, то в заведениях за её пределами должно быть ещё вкуснее.
Хотя он и не гурман, но пробовать новую еду любит.
Конечно, при условии, что еда ему понравится.
Такие блюда, как «Звёздное небо», сыр с живыми личинками, сюрстрёмминг — это не для него.
Но пока что местная еда в Башу кажется вполне приличной.
Решив три большие задачи, Сюй Чуань дважды всё проверил и, убедившись, что ошибок нет, досрочно сдал работу.
В этом году команду провинции Сяннань возглавлял учитель Гун Жихуэй из первой средней школы города Синчэн, он хорошо знал Сюй Чуаня. Увидев, что тот досрочно сдал работу, да ещё и вовремя, он понял, что задания в этом году, возможно, не такие уж и сложные.
Протянув бутылку воды, Гун Жихуэй с улыбкой спросил: «Как сдал?»
«Нормально, сложность задач первой половины не очень высокая, посмотрим, что будет во второй половине».
Сюй Чуань открутил крышку и сделал глоток воды, затем спросил: «Учитель Гун, есть ли поблизости какая-нибудь вкусная еда? Я хочу попробовать».
«В Башу довольно много вкусной еды: бобоцзи, бэйчуаньская холодная лапша, даньданьмянь, красный цыба, лебединые яйца, саньхэни, саньдапао, фэйчанфэнь — всё это очень вкусно».
«Если выйти из школы и повернуть направо, то примерно через пятьсот метров будет улица с едой, можешь сходить туда».
«Но завтра ещё один экзамен, так что будь осторожен, не объешься до расстройства желудка».
«Учитель, вы раньше бывали здесь, так хорошо всё знаете?» — с некоторым удивлением спросил Сюй Чуань, ведь только что Гун Жихуэй сходу порекомендовал ему больше десятка закусок и блюд.
Гун Жихуэй улыбнулся и сказал: «Я родом из Башу, естественно, всё знаю».
Сюй Чуань протянул «о», кивнул, поблагодарил и собрался идти пробовать еду на улице, о которой говорил Гун Жихуэй. Но не успел он сделать и двух шагов, как голос позади остановил его.
«Брат Чуань, ты куда? Подожди меня».
Издалека донёсся голос круглолицего Лу Тяньжуя, он тоже досрочно сдал работу.
Сюй Чуань на самом деле не хотел брать его с собой, потому что этот паренёк слишком болтлив.
Но не смог устоять перед его настойчивостью и вынужден был взять с собой этот «хвост».
«Брат Чуань, брат Чуань, а ты во второй большой задаче, где нужно было найти множество D(n)={abiin=ab，a，b∈z+a]b}, какой метод использовал?»
«Брат Чуань, а что мы будем есть?»
«Брат Чуань, как думаешь, если мы пойдём есть хого, у нас не будет расстройства желудка?»
«Брат Чуань, как думаешь, почему девушки в Башу не боятся холода? Уже декабрь, а они ходят с голыми ногами?»
«Брат Чуань...»
Всю дорогу Лу Тяньжуй без умолку болтал, словно ходячая энциклопедия «Сто тысяч почему».
Сюй Чуань хотел заткнуть уши берушами. Откуда ему знать, почему девушки в Башу не боятся холода? Если такой смелый, иди и спроси у них сам.
Прогулявшись с болтливым пареньком по улице с едой, Сюй Чуань вернулся в комнату для подготовки.
Хотя этот круглолицый малый и надоедлив, но еда в Башу очень даже неплохая, некоторые фирменные блюда, вопреки расхожему мнению, не все острые и пряные, их стоит попробовать.
Единственная проблема — здешний доуфунао оказался кисло-острым, что для него было чем-то из ряда вон выходящим.
Доуфунао должен быть сладким!
Вернувшись в комнату для подготовки и обменявшись с другими участниками команды информацией о сегодняшнем экзамене и опытом, все разошлись по своим комнатам и легли спать.
Ночь прошла спокойно, и экзамен второго дня начался очень быстро.
Проверка при входе, раздача экзаменационных листов. Сюй Чуань проверил свой лист, и выражение его лица стало крайне неоднозначным.
«Ну и дела, я-то думал, почему вчерашние задания были такими лёгкими, оказывается, всё сложное собрали здесь».
Пробежавшись глазами по заданиям, Сюй Чуань пробормотал себе под нос.
Как и вчера, было три задачи: одна по геометрии, одна по множествам целых чисел и одна по функциям.
Но сложность задач выросла в несколько раз.
Даже у него, когда он получил лист, в голове сразу не возникло конкретного плана решения.
По сравнению с простыми двумя треугольниками в первой геометрической задаче вчерашнего дня, сегодняшний геометрический рисунок был сложнее раз в десять.
В одной из геометрических задач текст занимал всего две-три строки, а рисунок внизу — почти половину листа.
Сюй Чуань посчитал: всего на этом геометрическом рисунке было четыре окружности — две большие и две маленькие, окружности пересекались друг с другом, как олимпийские кольца.
А внутри окружностей, снаружи, было восемь разных треугольников: остроугольные, прямоугольные, тупоугольные — такие привычные треугольники, а ещё треугольники Чевы, треугольники Рёло — такие сложные треугольники.
Кроме того, шесть линий пересекали треугольники и окружности, горизонтально и вертикально, разрезая весь геометрический рисунок на мелкие кусочки.
Треугольники пересекались с треугольниками, треугольники пересекались с окружностями, окружности касались друг друга, прямые линии разрезали рисунок — от сложного рисунка Сюй Чую хотелось разорвать экзаменационный лист.
Для участников математической олимпиады это был настоящий кошмар.