Глава 71. Урок математики Райнера.2 •
Покойный высокопоставленный маг Андре Луар определил параболу как расстояние до неподвижной точки на плоскости, равное траектории точки с таким же расстоянием до неподвижной прямой, которая не превышала эту точку. И эта неподвижная точка была центральной точкой параболы, а неподвижная прямая линия была ориентиром параболы.
– Уравнение прямой этой параболы равно y=-p/2, а фокусная точка равна (0, p/2). Введя полярные координаты, мы можем получить x=r*sinθ, y=r*cosθ+p/2.
Райнер бегло писал на доске. Он уже сам выводил эту формулу раньше, так что теперь просто повторял.
– Тогда расстояние от точки a на параболе до прямой равно r*cosθ+p, а расстояние до фокусной точки равно r. По определению, эти два значения должны быть одинаковыми, то есть r=r*cosθ+p. Чтобы упростить это, возьмите θ в качестве независимой переменной, и вы можете получить выражение r=p/(1-cosθ).
Расчётные формулы постоянно писались на доске, как таинственные заклинания, направляющие удивительный мир.
– Помещая это в исходное функциональное уравнение, легко увидеть, что они эквивалентны, но это просто разные математические выражения одной и той же параболы в разных системах координат.
Очевидно, функциональное уравнение полярных координат было очень кратким, даже Дана могла быстро вычислить значение.
Когда Райнер посмотрел на математику этого мира, он обнаружил, что развитие математики здесь намного отстаёт от других разработок. Хотя разработка различных уравнений кривых и тригонометрических функций была быстрой, и большинство математических концепций были определены, знания, связанные с математическим исчислением и теорией чисел, редко обсуждались, а область мнимых чисел ещё не существовала.
Его Превосходительство Исарис Альбертон, легендарный маг системы закона, был основателем исчисления, но сначала он использовал это только для описания своих трёх законов движения, и, похоже, он не хотел продвигать эту теорию.
Популяризация исчисления произошла несколько лет спустя. Академия Его Превосходительства Альбертона, который только что стал магом высокого уровня, столкнулась с финансовым кризисом, поэтому он подумал о том, чтобы сделать математику обязательным курсом для студентов факультета закона. Доходы академии сразу же выросли более чем на пятьсот процентов в том году, и это помогло академии беспрепятственно пережить кризис. С тех пор исчисление стало ориентиром для магов среднего и высокого уровня, когда они строили модели заклинаний.
По мнению Райнера, было два основных момента.
Во-первых, в конце концов, это был волшебный мир. Древние маги создали блестящие цивилизации без какой-либо математической теории. Для большинства магов опыт и интуиция были намного удобнее, чем расчёты. Что касается этой причины, то чем выше был уровень мага, тем более очевидной она становилась.
Используя простой пример, чтобы проиллюстрировать этот момент, нужно было измерить объём нерегулярной бочки. Люди могли либо измерить её, а затем рассчитать, чтобы получить окончательный ответ, либо они могли наполнить её магической силой, чтобы получить ответ, и последнее, очевидно, было намного проще.
Маги высокого уровня были подобны машинам с выдающейся вычислительной мощностью, даже при простом методе истощения они могли выполнить большую часть вычислений моделей заклинаний.
В конечном счёте, математика была всего лишь кратчайшим путём в этом мире. Сильным не нужны были короткие пути, а знаний слабых было недостаточно, чтобы найти новые короткие пути. Поэтому развитию этой дисциплины никто не способствовал.
В настоящее время большая часть результатов прогресса в математике зависела от сложных проблем, с которыми сталкиваются в реальности, и люди поворачивают головы, чтобы обратиться за помощью к математике.
Вторым и самым важным моментом было то, что развитие математики не получало обратной связи от мира.
Даже если бы Райнер предложил полярную систему координат, обратная связь с миром вряд ли существовала. Тысячу восемьсот лет назад Тэлес Анакши предложил теорему Анакши о треугольниках. Однако это крупное открытие не получило никакой обратной связи от всего мира. Это заставило его подумать, что он совершил ошибку.
Помимо того, что он помог ему построить модель заклинаний и пожать плоды разочарования студентов, исчисление, созданное Его Превосходительством Альбертоном, не принесло большой пользы. По этой причине до сих пор не существовало академий, специализирующихся на математике. Большинство исследователей в области правовой системы и элементной системы, которые сосредоточились на оптимизации математики и создании моделей с математическими знаниями, были более склонны к прикладной математике.
Причина, по которой академическая система этого мира процветала, и люди жаждали истины, заключалась в том, что большая часть оной заключалась в том, что реальное исследование мира могло получить обратную связь и получить власть, поэтому математика, которая казалась "ни на что не годной", естественно, не вызывала у людей интереса.
– Это потрясающе, – тихо воскликнула Дана. Если использовать формулу Райнера, даже она могла бы быстро получить уравнение траектории магического канала. До сегодняшнего дня она никогда не осознавала, что математика обладает такой удивительной силой.
Клэр погрузилась в свои мысли, она немного подумала, затем подняла руку и спросила.
– Но это может объяснить только траекторию параболы. В модели заклинаний есть более сложные кривые, такие как эллипсы и гиперболы. Что нам тогда делать?
Райнер слегка улыбнулся, затем нарисовал на доске эллипс, установил полярную систему координат и начал рассуждать:
– Определение эллипса – это набор точек, расстояние от которых до двух неподвижных точек на плоскости равно константе и больше расстояния между двумя неподвижными точками. Существуют также руководящие принципы и координационные центры. Определение может быть преобразовано в набор точек, где отношение расстояния до неподвижной точки к расстоянию до прямой на плоскости является постоянным. Приведите его таким же образом, как и параболу...
Почерк Райнера на доске был очень аккуратным, простым и ясным, и Дана быстро его поняла.
Наконец, после введения полярных координат эллипс получил формулу r=e/ (1-e*cosθ), e=b^2/a, e=c/a, где a – половина длинной оси эллипса, b – половина короткой оси, а c – расстояние между двумя фокусными точками.
– Эти две формулы очень похожи.
Дана понимала некоторые проблемы, но не могла сделать выводов.
Не дожидаясь, пока они хорошенько подумают, Райнер начал выводить гиперболическое уравнение полярных координат.
Гипербола – это совокупность точек, абсолютное значение разницы между расстоянием до двух неподвижных точек которых равно константе и меньше расстояния между двумя точками. Райнер вывел уравнения полярных координат параболы и эллипса, поэтому он быстро получил уравнения полярных координат гиперболы.
r = e / (1-e * cosθ).
Формы этих трёх уравнений были на удивление последовательными, заставив Клэр и Дану онеметь от удивления.
– На самом деле, мы можем предположить, что для параболы также существует e, но значение этого e равно единице, и длина фокусной точки, а также длинная и короткая оси также могут быть объединены. С этой точки зрения эллипс, гипербола и парабола на самом деле могут быть выражены одним и тем же уравнением полярных координат, и разница между ними заключается в этом e, которое я определяю как эксцентриситет.
Глядя на три очень разные кривые и большую серию формул дедукции на доске, Райнер сказал:
– Когда эксцентриситет меньше единицы, то это гипербола; когда эксцентриситет больше единицы, это эллипс, а когда эксцентриситет равен единице, это парабола; когда эксцентриситет равен нулю, то это идеальный круг.
Его вывод может показаться неприемлемым, но пошаговый процесс вывода был настолько ясен, что Клэр и Дана не смогли найти в нём никаких недостатков.
– Исходя из этого, мы можем доказать, что эти виды кривых на самом деле являются изменениями одного и того же вида кривой в разных ситуациях. В то же время это также дает этим типам кривых более обтекаемое и унифицированное определение: на плоскости совокупность точек, отношение расстояния от фиксированной точки к расстоянию от фиксированной прямой является постоянным. Эта константа и есть эксцентриситет e!
Отложив мел, Райнер тихо сказал:
– Доказательство завершено.