Глава 1290. Сделаю за два часа •
Завершив видеозвонок и немного подождав, он получил письмо от Сюй Сяо.
Открыв почту, Сюй Чуань скачал из вложения математическую задачу, открыл ее и отправил на печать.
Достав из принтера листы, еще хранившие тепло и запах чернил, он с интересом вернулся за рабочий стол.
Взяв со стола стопку бумаги формата А4, Сюй Чуань поднял шариковую ручку, и его взгляд упал на математическую гипотезу.
Посмотрим, что это за трудность такая...
Тихо пробормотав это, он увидел на бумаге текст гипотезы.
Существование и конструктивность оптимальной выборки по значимости для многомерного интегрирования
Существует ли универсальный и эффективный метод построения, такой, что для любой многомерной подынтегральной функции f(x) мы можем найти легко выбираемую функцию плотности вероятности p(x), при которой дисперсия оценки f(x)/p(x) будет равна нулю или крайне мала? Причем если p(x) пропорциональна f(x), то дисперсия равна нулю.
Описание проблемы было очень простым, всего одно предложение.
Однако оно представляло собой самый основной и практический вызов в области вычислений многомерных интегралов.
Или, скорее, это было больше похоже на цель типа «Святого Грааля», чем на конкретную гипотезу.
«Проблема в области численного интегрирования? Любопытно».
Глядя на математическую гипотезу на бумаге, Сюй Чуань проявил в глазах интерес.
Благодаря своим математическим способностям, даже прочитав описание лишь один раз, он, без сомнения, смог сразу определить суть этой математической гипотезы.
Численное интегрирование — это математический метод вычисления приближенного значения определенного интеграла с помощью численного приближения, применимый в случаях, когда первообразная функция не может быть выражена через элементарные функции, когда значения функции известны только в дискретных точках или когда речь идет о многомерных многообразиях.
Его принцип основан на определении интеграла Римана и теореме о среднем значении интеграла; с помощью электронных вычислительных устройств реализуются сложные интегральные операции, в основном включающие интерполяционные квадратурные формулы и систему оценки алгебраической точности.
Например, формулы Ньютона — Котеса как типичные интерполяционные формулы охватывают такие формы низкого порядка, как формула трапеций и формула Симпсона, повышая точность с помощью составных квадратурных методов. Алгоритм Ромберга использует стратегию переменного шага для ускорения сходимости; квадратурные формулы Гаусса достигают более высокой алгебраической точности за счет оптимизации расположения узлов.
Для вычисления же многомерных интегралов обычно используются метод Монте-Карло, алгебраические методы и теоретико-числовые методы.
Возможно, эти математические термины незнакомы большинству людей, но если сказать, что с ними тесно связан один проект, то, полагаю, почти каждый житель страны поймет, о чем речь.
Это проект «Две бомбы и одна звезда»!
Да, численные интегральные вычисления, особенно такие методы, как метод Монте-Карло, алгебраические и теоретико-числовые методы, часто используемые для многомерного интегрирования, позволили решить в рамках проекта «Две бомбы и одна звезда» такие ключевые математические задачи, как моделирование ядерных и водородных бомб, искусственных спутников, состояний вещества и так далее.
В 50-х годах прошлого века эти математические методы относились к самым передовым методам вычислений в мире.
Это были знания, которые США и Советский Союз строго охраняли, запрещая их преподавание извне.
К счастью, благодаря усилиям Цяня и Хуа в прошлом веке, соотечественники в конечном итоге успешно освоили этот передовой метод математических вычислений и успешно создали «Две бомбы и одну звезду».
На этой основе была даже разработана знаменитая траектория Цянь Сюэсэня, которая объединила в себе скоростные характеристики баллистических ракет с маневренностью крылатых ракет, обеспечив двойной прорыв в дальности и способности преодоления ПРО за счет скачкообразной траектории по типу пускания блинчиков по воде.
Этот творческий результат разрушил существовавшее тогда представление о фиксированной траектории баллистических ракет, не только переписав правила полета традиционных баллистических ракет, но и подняв потенциал стратегического сдерживания родины на совершенно новую высоту благодаря инженерной практике.
Без преувеличения можно сказать, что даже сегодня, в двадцать первом веке, траектория Цянь Сюэсэня остается для других стран способом полета ракеты, который невозможно перехватить.
Эту скачкообразную траекторию трудно просчитать даже с использованием суперкомпьютеров.
Дважды просмотрев математическую гипотезу в своих руках, Сюй Чуань достал из ящика стопку черновиков.
Взяв шариковую ручку, он уставился на лежащую перед ним бумагу и глубоко задумался.
Гипотеза о «существовании и конструктивности оптимальной выборки по значимости для многомерного интегрирования» — это сложная математическая задача, вытекающая из численного интегрирования.
Исследования в этой области получили огромное развитие за последние десятилетия и играют важную роль в научных и промышленных приложениях.
Например, определение коэффициентов УЧП, реконструкция начальных значений, оценка функций источников поля, проверка интерфейсных или граничных условий и так далее — все это требует решения некорректно поставленных нелинейных операторных уравнений.
Эти проблемы возникают в различных областях военного и промышленного применения, таких как неразрушающий контроль, сейсмическая томография, технологии обнаружения подводных лодок, медицинская визуализация, оптика ближнего поля и так далее.
Однако до настоящего времени эта математическая гипотеза остается нерешенной.
Если удастся доказать или опровергнуть эту гипотезу или найти систематический метод построения, это полностью изменит вычисления на основе метода Монте-Карло, позволив увеличить скорость и точность вычислений многомерных интегралов на порядки.
Для современной научной и промышленной системы это даст толчок не только технологиям виртуальной реальности, которыми занимается Сюй Сяо.
Физика, инженерия, финансы, компьютерные науки и графика, машинное обучение и искусственный интеллект, медицинские исследования, науки о Земле...
Без преувеличения можно сказать, что инструменты численного интегрирования затрагивают практически все аспекты жизни людей.
Это гораздо больше, чем просто абстрактный математический инструмент; это мост, соединяющий теоретические модели с практическим применением.
От проектирования более безопасных самолетов и автомобилей до создания спецэффектов в голливудских блокбастерах; от оценки рисков на финансовых рынках до разработки жизненно важных лекарств — численное интегрирование играет незаменимую роль во всем этом.
Когда задача касается «непрерывного суммирования» или «вычисления общих объемов», а аналитическое решение недостижимо, численное интегрирование становится мощным оружием в руках ученых и инженеров.
Конечно, строго говоря, проблема Сюй Сяо — это лишь одна из математических задач, вытекающих из численного интегрирования.
Хотя она и является одной из наиболее важных среди них.
Но подобных задач в огромной области численного интегрирования насчитываются десятки, сотни или даже больше.
В конце концов, с развитием компьютерного рендеринга, вычислительной физики, финансового моделирования и других областей, вычисления многомерных интегралов (размерность которых может достигать сотен или даже тысяч) развиваются.
Традиционные методы численного интегрирования, такие как правило трапеций или метод Симпсона, становятся совершенно неэффективными, поэтому появление новых методов вычислений и сопутствующих им проблем неизбежно.
Это означает, что с появлением каждого нового метода вычислений неизбежно возникает по крайней мере одна, две, три или даже больше фундаментальных, еще не доказанных проблем и открытых вопросов, которые человечество в настоящее время не может решить.
Когда p(x) = f(x)/I, где I = ∫f(x)dx, оценка f(x)/p(x) = I является константой, а дисперсия равна нулю.
То есть f(x)/p(x) = I для всех x, что означает p(x) = f(x)/I.
Строка за строкой формулы ложились на белоснежную бумагу. Кончик ручки в пальцах Сюй Чуаня был подобен легкому челну на гребне волны, оставляя на бумаге череду плавных и аккуратных волн.
Хотя существование и конструктивность оптимальной выборки по значимости для многомерного интегрирования все еще остается нерешенной гипотезой для современного математического сообщества и представляет немалую сложность.
Но для Сюй Чуаня вопросы, вытекающие из области численного интегрирования, были одной из сфер исследований, в которых он разбирался лучше всего.
Ведь принципы численного интегрирования строятся на определении интеграла Римана и теореме о среднем значении для интегралов, а его основная идея заключается в замене исходной функции простой функцией (например, многочленом) для проведения интегрирования.
Для него, какими бы сложными ни были эти вещи, они не могли сравниться по сложности с выполненной им вычислительной гидродинамикой.
Будь то расчеты плазменной турбулентности в реакторах управляемого термоядерного синтеза или такие сложные задачи, как поток, давление и теплопередача в сложных геометрических областях космических челноков, например, на крыльях самолета или в магнитных полях двигателей — все это было гораздо сложнее данной проблемы.
Он справлялся даже с такими более сложными задачами численных расчетов, не говоря уже о проблеме в области вычислений многомерных интегралов, предложенной Сюй Сяо.
В конце концов, если бы он признал себя вторым в понимании того, как вычислять приближенные значения определенных интегралов с помощью численной аппроксимации, то никто не смог бы назвать себя первым.
На ранних этапах исследования гипотезы Римана работа по изучению распределения нулей дзета-функции Римана ζ(s) в основном выполнялась с помощью аппроксимационных вычислений.
Сжимая в правой руке шариковую ручку, он левой рукой быстро просмотрел требования и детали проблемы в приложении, присланном Сюй Сяо по электронной почте. Сюй Чуань, не моргнув глазом, быстро заполнил черновик строками формул.
Любопытно... Кажется, здесь нельзя продолжать использовать гамильтонов метод Монте-Карло?
Глядя на черновик на столе, Сюй Чуань с интересом в глазах остановил ручку и, быстро размышляя, тихо пробормотал:
...Если продвигаться дальше, то на последующем третьем этапе при обеспечении сходимости возникнут масштабные ошибки низкой эффективной размерности и ошибки несглаженного типа.
Подумав несколько секунд, шариковая ручка в руке Сюй Чуаня снова пришла в движение.
Для функций с конечными смешанными точками разрыва скорость сходимости квази-метода Монте-Карло может превышать O(N1), даже приближаясь к O(N1), а его эффективность для многомерных задач может быть охарактеризована эффективной размерностью функции или ANOVA-разложением.
Однако это неноминальная размерность. Здесь следует использовать метод перекрестной энтропии для аппроксимации, чтобы можно было постепенно корректировать предлагаемое распределение.
— Однако может возникнуть проблема медленной сходимости.
Поразмыслив несколько секунд, уголки губ Сюй Чуаня изогнулись в улыбке, после чего он вычеркнул предыдущую строку шагов и заново записал математическое выражение.
— Если метод перекрестной энтропии вычисляется слишком медленно, тогда просто использую оператор Лакса, чтобы отобрать те «лишние» начальные значения!
— В таком случае можно сэкономить как минимум более 30% громоздких этапов вычислений, и эффективность значительно возрастет!
Пробормотав это себе под нос, кончик ручки в пальцах Сюй Чуаня заскользил по бумаге, оставляя ряды плавных и аккуратных формул.
Хотя «существование и конструктивность оптимальной выборки по значимости для многомерных интегралов» все еще остается нерешенной гипотезой для современного математического сообщества и представляет немалую сложность.
Но для Сюй Чуаня, если бы это была область, не столь связанная с математикой, решение подобной задачи могло бы занять немало времени.
Однако применение таких методов исследования, как численные расчеты и аппроксимация интегралов, было одной из областей, в которых он разбирался лучше всего.
Дописав последнюю строку, Сюй Чуань отложил шариковую ручку, привел в порядок листы рукописи и, отобрав ненужные черновики, дважды внимательно проверил формулы на бумаге.
Хотя он мог гарантировать отсутствие ошибок в своем исследовании — по крайней мере, в вопросе, который не был для него слишком сложным, — строгость была научным духом, запечатленным в его крови.
Убедившись, что в процессе вычислений и методе решения нет никаких проблем, Сюй Чуань четко сфотографировал каждый лист рукописи, затем откинулся на спинку стула и, глубоко вздохнув, произнес:
— Сяо Лин, помоги мне систематизировать результаты недавнего исследования.
Как только он закончил говорить, из телефона раздался голос.
Сяо Лин: «Принято! Хозяин, просто предоставьте это Сяо Лин! (ω)».
Если бы Сюй Чуань сам приводил в порядок эти листы и полностью вводил их в компьютер, это могло бы занять даже больше времени, чем само исследование.
Однако для искусственного интеллекта это заняло меньше минуты.
Сяо Лин, завершив сканирование формул на рукописи в кратчайшие сроки, быстро создала документ на рабочем компьютере перед Сюй Чуанем.
Сяо Лин: «Хозяин! Документ уже готов! (`)».
Услышав это, Сюй Чуань слегка кивнул, открыл документ, подготовленный Сяо Лин, и, просмотрев его и убедившись в отсутствии ошибок, с улыбкой произнес:
— Помоги мне составить письмо и отправь этот документ Сюй Сяо.
Сяо Лин: — Хорошо, хозяин! Все сделано!
— Мм, спасибо за работу.
Не прошло и двух минут с момента отправки письма, как лежащий на столе телефон завибрировал.
Это было сообщение в WeChat от Сюй Сяо.
— Офигеть, братец???
Глядя на сообщение в телефоне, Сюй Чуань невольно улыбнулся.
Всего за два часа удалось расправиться с задачей, которая долгое время не давала покоя математическому сообществу. Стоит признать, такая эффективность действительно заслуживала похвалы!
Потянувшись и взглянув на время в телефоне, Сюй Чуань встал и направился в небольшую внутреннюю столовую института CRHPC.
Было уже начало первого, пора обедать.