Глава 272. Продвижение уравнений Н-С с точки зрения физики •
После написания заголовка и введения, Сюй Чуань начал переходить к основному тексту.
"...Ссылаясь на статью профессоров Пань Жунхуа и Чжан Вэйчжэ 'Уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости с учетом теплопроводности', на этой основе ослабим начальные условия".
"Тогда (v, u, θ)(x) ∈ h*h*h превращается в (v, θ) ∈ h(0, 1), uo ∈ h(0, 1)"
"Существуют некоторые положительные постоянные c и η ] 0, такие, что для любых (x, t) ∈ (0, 1)(0, ∞)."
"Можно получить c ≤ u(x, t) ≤ c, c ≤ θ(x, t) ≤ c, и ||(u - ∫udx, u, θ - ∫udx)(·, t)||h(0, 1) ≤ ceηt"
В кабинете Сюй Чуань начал исследование уравнений Н-С.
Это сложная задача, охватывающая три столетия, и решить ее невероятно сложно.
С тех пор как Сен-Венан и Стокс в 1845 году независимо друг от друга предложили уравнения в форме с постоянным коэффициентом вязкости и назвали их уравнениями Навье-Стокса, за два столетия было множество математиков и физиков, исследовавших их.
Однако тех, кто добился значительного прорыва в этой области, можно пересчитать по пальцам.
В настоящее время наибольший прогресс в математическом сообществе в отношении уравнений Н-С - это все еще поэтапные результаты, которых он добился вместе с Фефферманом, когда был в Принстоне.
Удалось для искривленного пространства, при заданных начальных и граничных условиях, определить существование решения.
А теперь Сюй Чуань хочет продвинуть это еще дальше, чтобы для конечной области с условиями Дирихле на границе, в трехмерном пространстве, доказать существование вещественного и гладкого решения уравнений Навье-Стокса.
Если удастся это сделать, то можно будет создать математическую модель для плазменной турбулентности в камере реактора управляемого термоядерного синтеза и использовать суперкомпьютер для управляющих вычислений.
Для Сюй Чуаня сейчас не стоит задача решить уравнения Н-С, это не самая лучшая идея.
С момента появления уравнений Н-С прошло уже почти двести лет, а они все еще стоят, как неприступная вершина, конца которой не видно.
Бесчисленные альпинисты даже не приблизились к подножию горы, люди не видят ее вершины, а могут лишь издалека взглянуть на нее сквозь туман.
Сюй Чуань тоже не смеет утверждать, что за свою жизнь сможет решить уравнения Н-С.
Не только потому, что это сложно, но и потому, что это огромная системная работа.
Определенная Институтом Клэя "проблема существования гладких решений системы уравнений Н-С в трехмерном пространстве" - это всего лишь прелюдия к уравнениям Н-С.
На вилле Сюй Чуань уже больше недели не выходил из дома.
Его продвижение в уравнениях Н-С поначалу шло довольно гладко, дифференциальные уравнения в частных производных были одной из областей его исследований в прошлой жизни, к тому же в этой жизни он сделал математику своей основной областью, и в этой сфере он успешно превзошел прошлую жизнь и ушел еще дальше.
Но это не позволило ему беспрепятственно продвигаться в уравнениях Н-С, два дня назад он уперся в тупик и до сих пор ищет способ решить эту проблему.
В кабинете Сюй Чуань, нахмурившись, смотрел на формулы на листе бумаги.
"u`` = -(1/v)(1 - cosa)u."
Это очень простая формула, гармоническое уравнение с функцией в качестве коэффициента, полученная в результате преобразования теоретического уравнения профиля скорости u(y) из теории разложения деформируемого тензора s+r Чэнь Чжида для пристеночного течения с нулевым градиентом давления.
Из этого уравнения следует, что с увеличением расстояния от стенки масштаб турбулентности эволюционирует от микромасштаба с очень высоким волновым числом до сверхбольшого масштаба, стремящегося к нулевому волновому числу.
В общем случае, оно может почти заменить уравнение Эйлера, применимое ко всем турбулентностям, и получить универсально действующую систему уравнений.
Кроме того, для этого уравнения уже доказано, что логарифмический закон скорости Прандтля является теоретическим решением уравнения.
Следовательно, можно считать, что для идеального пристеночного течения теоретическое решение совпадает с экспериментальным.
Проще говоря, в идеальных условиях рассчитанное с помощью математических формул состояние турбулентного течения точно такое же, как и реальное.
Если это возможно, то можно использовать это для построения математической модели, реализации прогнозирования и управления турбулентностью.
Но у этого есть одна серьезная проблема!
Она заключается в том, что область турбулентности - это область, где cosa эволюционирует от значения, которое нельзя аппроксимировать единицей, до значения, близкого к нулю, и получить общее аналитическое решение сложно.
Это самый критический момент для камеры реактора управляемого термоядерного синтеза, имеющей причудливую форму.
Сюй Чуань хотел найти способ, который мог бы дополнить или заменить это, но пока безуспешно.
Что еще более важно, в математике строгая формула ускорения доказывается с помощью производной Ли.
Следовательно, хотя ускорение микроэлемента, выведенное с помощью s+r, и производная Ли по существу совпадают, они сильно различаются по механическому (физическому) объяснению.
И в настоящее время научное сообщество в целом принимает уравнения Эйлера или уравнения Н-С, основанные на производной Ли.
Следовательно, для приведенных здесь уравнений пристеночного течения и общих уравнений турбулентности практически нет подтверждающей литературы в теоретическом сообществе.
Другими словами, Сюй Чуань даже не может обратиться к предыдущим литературным работам для справки.
Это практически полностью неисследованная область.
В кабинете, скомкав лист бумаги в руке и бросив его в мусорное ведро, Сюй Чуань уставился на чистый лист формата А4 и вздохнул.
С тех пор как вывод зашел в тупик, он застрял на этой проблеме уже около десяти дней, но безрезультатно.
Конечно, нельзя сказать, что совсем безрезультатно, по крайней мере, за эти десять дней он исключил множество непригодных методов.
Покачав головой, он уже было собрался продолжить писать, но, подумав, снова бросил ручку в сторону.
Подняв голову и посмотрев некоторое время на потолок, Сюй Чуань отодвинул стул и встал.
Возможно, ему нужна небольшая помощь.
Он вспомнил свой опыт решения проблемы существования и массового зазора в калибровочной теории Янга-Миллса в прошлой жизни.
Тогда он тоже, как и в этот раз, долгое время был ограничен узким местом.
И уравнения Н-С, и проблема существования и массового зазора в калибровочной теории Янга-Миллса - это не только математические, но и физические проблемы.
Возможно, он сможет найти решение с точки зрения физики.
Если отбросить математическое мышление, то с точки зрения физики самый быстрый способ изучить проблему - это практика.
Турбулентность вездесуща, она существует в спутной струе быстро летящего самолета, а также в ванне, наполненной водой.
Ее суть заключается в передаче энергии от самого большого масштаба к самому маленькому через образование, взаимодействие и исчезновение вихрей.
Проще говоря, упорядоченный поток жидкости образует вихри, эти вихри взаимодействуют друг с другом, распадаясь на более мелкие вихри, затем более мелкие вихри продолжают взаимодействовать и так далее...
Однако этот хаос озадачивает ученых на протяжении веков.
В настоящее время не существует механистической структуры, которая могла бы проанализировать, как взаимодействие между вихрями управляет таким каскадом энергии.
И у физиков есть способ решения сложных проблем, который они часто используют!
Например, чтобы понять фундаментальные составляющие Вселенной, физики-теоретики построили Большой адронный коллайдер, ускоряя микрочастицы, а затем заставляя их сталкиваться, чтобы получить данные.
На этот раз, чтобы раскрыть фундаментальные механизмы турбулентности и найти способ решения уравнений Н-С, Сюй Чуань решил столкнуть вихри друг с другом и своими глазами увидеть их структуру и движение на микроуровне. В Нанкинском университете Сюй Чуань направился прямо на физический факультет, нашел декана факультета Юй Юнвана и попросил разрешения использовать оборудование факультета.
На просьбу Сюй Чуаня декан Юй, не раздумывая, сразу же согласился.
В здании физических экспериментов Сюй Чуань позвал двух своих студентов, чтобы они помогли ему. Со стороны Нанкинского университета по распоряжению Юй Юнвана также пришли два аспиранта на помощь.
На самом деле, создание столкновения турбулентности - не такая уж сложная задача.
Различные морские организмы могут создавать вихревые кольца под водой, используя воздух и быстро движущуюся воду.
Это происходит потому, что когда круглый пузырь движется вперед, он подвергается давлению воды спереди и силе трения поверхности воды сбоку назад, что приводит к тому, что первоначально круглый пузырь сплющивается, а края из-за силы, направленной назад, возмущают воздух по краям, заставляя его вращаться, образуя вихри по краям, постепенно середина разделяется, и образуется вихревое кольцо.
Сложность эксперимента заключается в том, чтобы использовать камеру сверхвысокого разрешения для записи всего столкновения двух турбулентностей, а затем использовать программу 3D-визуализации для реконструкции процесса столкновения и определения основного механизма эволюции турбулентности.
"Профессор, я здесь все настроил, вихревое кольцо А1 использует зеленый материал, вихревое кольцо А2 использует красный материал."
В лаборатории Гу Бин громко сообщил о завершении своей работы.
Сюй Чуань кивнул и сказал: "Хорошо".
А с другой стороны, с помощью студентов, специализирующихся на фотограмметрии и дистанционном зондировании, Амелия также успешно завершила установку и настройку камеры сверхвысокого разрешения.
"Докладываю, профессор, камера сверхвысокого разрешения готова, запись можно начинать в любой момент".
Под руководством Сюй Чуаня и с помощью Нанкинского университета оборудование для эксперимента по столкновению вихревых колец было быстро собрано.
Эксперимент начался, при точном управлении устройства для создания вихревых колец, расположенные по обе стороны резервуара, одновременно выпустили вперед по пузырю, при быстром движении пузыри превратились в вихревые кольца, которые затем столкнулись прямо в центре.
Красно-желтые вихревые кольца в момент столкновения образовали видимые невооруженным глазом смешанные цветные волны и кольца, но всего за секунду эти волны и кольца рассеялись в облаке красителя.
Но для Сюй Чуаня этого было достаточно.
В этой лаборатории Сюй Чуань специально раздобыл мощный сканирующий лазерный луч, синхронизированный с высокоскоростной камерой, в сочетании они позволяли захватывать сотни тысяч изображений в секунду.
А высокоскоростная камера сверхвысокого разрешения точно записала весь процесс эксперимента и передала его на компьютер.
Осталось только использовать программу 3D-визуализации для реконструкции процесса столкновения.
"Профессор, эксперимент на сегодня закончен?"
В лаборатории Амелия с любопытством смотрела на студентов, разбирающих оборудование, и спрашивала Сюй Чуаня.
Сюй Чуань кивнул и сказал: "Да, закончен".
"Могу я спросить, что вы исследуете? Вихри? Или турбулентность?"
Будучи срочно вызванными, Амелия и Гу Бин были немного любопытны, чем занимался их наставник, исчезнув на полмесяца.
Сюй Чуань улыбнулся и ответил: "Исследую уравнения Н-С".
Амелия открыла рот и удивленно посмотрела то на Сюй Чуаня, то на разбираемое оборудование: "С помощью этого?"
Сюй Чуань с улыбкой сказал: "Конечно, уравнения Н-С изначально изучают гидродинамику, а вихри - это часть гидродинамики".
На самом деле, с 1990-х годов физики начали использовать вихревые коллайдеры для изучения турбулентности, но все предыдущие эксперименты не смогли замедлить и механически реконструировать момент возникновения хаоса при столкновении.
Сюй Чуань сделал это, в том числе, и благодаря опыту, полученному в прошлой жизни.
В будущей аэродинамике систематическая реконструкция хаотических систем для исследований - обычное дело, поэтому он с легкостью добавил это.
"Профессор, могу я присоединиться к вашему исследованию?" - с надеждой спросила Амелия.
В университете она изучала математическую физику, и уравнения Н-С ей тоже были очень интересны. Присоединившись к исследованиям Сюй Чуаня, даже если она не сможет ничем помочь, она наверняка сможет многому научиться.
Рядом Гу Бин тоже бросил выжидающий взгляд.
Заметив желание двух студентов, Сюй Чуань улыбнулся и сказал: "Вам лучше сначала хорошо выполнить задание, которое я вам дал ранее".
Дело не в том, что он не хотел, чтобы два студента участвовали в его проекте, но у них, вероятно, не хватит сил и времени.
В прошлом году он не особо занимался студентами, но в этом году все по-другому, в начале года он даже лично поставил перед ними математическую задачу, похожую на проблему Ходжа.
По оценкам, эта одна задача займет все их повседневное время.
Если они смогут ее решить, то до выпуска им останется совсем немного.
Потратив несколько дней, 3D-визуализация реконструкции столкновения вихрей была наконец завершена.
Нанкинский университет сразу же прислал реконструированные данные.
Получив данные, Сюй Чуань заварил чашку зеленого чая и включил компьютер.
С тех пор как ранее у Цю Чэнтуна он получил вдохновение от чайного тумана, он тоже начал заваривать чай и пить его, надеясь и дальше получать от этого вдохновение и идеи.
Хотя это и не приносило пользы, Сюй Чуань неожиданно обнаружил, что чай позволяет ему сохранять определенную концентрацию во время повседневных исследований, поэтому он тоже начал привыкать заваривать чашку зеленого чая перед началом исследований.
Взяв чашку, он сделал небольшой глоток и открыл реконструированный эксперимент по столкновению вихревых колец.
Это была картина, совершенно отличная от визуального наблюдения: после реконструкции столкновения цвет вихревых колец полностью исчез или, можно сказать, стал однородным.
Но Сюй Чуань зорко подметил, что когда вихревые кольца сталкиваются друг с другом, они растягиваются наружу, и на их краях образуются антисимметричные волны.
Гребни этих волн развиваются в пальцеобразные нити, растущие перпендикулярно ядру, где происходит столкновение.
Затем эти "пальцы" вращаются в направлении, противоположном направлению вращения соседних "пальцев", образуя новый массив микровихрей, взаимодействие между которыми длится несколько миллисекунд.
Если бы не экстремальное замедление, заметить это было бы очень сложно.
Но это также принесло Сюй Чуаню смутное вдохновение.
Слегка щелкнув мышью, он перемотал изображение в самое начало и снова запустил воспроизведение.
Когда сформировался новый вихревой массив и волны, взгляд Сюй Чуаня становился все более ярким, но в ярком взгляде все еще примешивалось сомнение.
Ему все время казалось, что эти вещи в математическом плане дают ему необъяснимое чувство знакомости, но он никак не мог вспомнить, где он их видел.
Мышь снова вернула прогресс, он снова и снова смотрел видео перед собой.
Внезапно в его голове всплыл лист бумаги, отчего его взгляд резко прояснился!
Он вспомнил, где видел эти знакомые вещи, и понял, как продвинуть уравнения Н-С!
P.S.: Вчерашнее добавление за лунные билеты, как и обещал, давайте еще немного лунных билетов, дорогие, осталось около трехсот лунных билетов до двух тысяч, (￣︶￣*)), позвольте Бавэй в следующем месяце провести розыгрыш!