Глава 183. Еще одна проблема мирового уровня •
Гипотеза Ходжа - одна из семи Задач тысячелетия.
Это нерешенная важная проблема в алгебраической геометрии.
Она была предложена Уильямом Валлансом Дугласом Ходжем и представляет собой гипотезу о связи между алгебраической топологией несингулярного комплексного алгебраического многообразия и его геометрией, выраженной полиномиальными уравнениями определяющих подмногообразий.
Проще говоря, гипотеза Ходжа заключается в том, что на несингулярном комплексном проективном алгебраическом многообразии любой класс Ходжа является рациональной линейной комбинацией классов алгебраических циклов.
Вместе с Великой теоремой Ферма и гипотезой Римана она составляет геометрический топологический носитель и инструмент структуры М-теории, объединяющей общую теорию относительности и квантовую механику, ее важность самоочевидна.
Если бы он смог решить гипотезу Ходжа, то правильность общей теории относительности и М-теории продвинулась бы на большой шаг вперед.
Для Сюй Чуаня соблазн этого дела, несомненно, был довольно велик.
В конце концов, в прошлой жизни он изучал физику и учился у Эдварда Уиттена, он был хорошо знаком как с общей теорией относительности, так и с М-теорией.
Внезапно мобильный телефон на столе снова завибрировал, громкий звонок прервал мысли Сюй Чуаня, он взял телефон, это звонил профессор Уиттен.
"Алло, наставник, вы что-то хотели?"
"Где ты? Тебе сейчас удобно?" - раздался голос Уиттена из трубки.
"Я в общежитии, что случилось, учитель, что-то не так?" - ответил Сюй Чуань.
"Тогда приходи сейчас в кабинет профессора Делиня".
"Хорошо, я сейчас буду".
Повесив трубку, Сюй Чуань посмотрел на автоматически загоревшийся экран телефона, дата на нем его поразила.
Двадцать седьмое августа.
Оказывается, он пробыл в общежитии больше месяца, сам того не заметив, это намного превысило время, на которое он ранее отпрашивался у профессора Делиня.
И, что еще важнее, профессор Делинь за прошедший месяц даже не спросил об этом.
Это просто возмутительно: студент отпросился на семь дней, а потом больше месяца не ходил на занятия, а наставник даже не спросил.
Покачав головой, Сюй Чуань зашел в ванную, умылся и привел в порядок свои растрепанные волосы, за этот месяц, пока он был погружен в изучение математики, его волосы отросли так, что закрывали уши, нужно найти время, чтобы подстричься.
Только он вышел из общежития и собирался закрыть дверь, как вдруг остановился, развернулся и вошел обратно в комнату, нашел рукопись, которую он подготовил ранее, работая над проблемой "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий", взял ее в руки и приготовился взять с собой.
Хотя математический инструмент, созданный для гипотезы Ходжа, был более важным, и его тоже нужно было отнести двум наставникам, чтобы они помогли его проверить. Но эти вещи сейчас были разбросаны по всему общежитию: на столе, на полу, на кровати, повсюду, и не было времени их собрать.
А вот математический инструмент, приспособленный к проблеме "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий", уже был подготовлен ранее, и теперь его можно было просто забрать.
Профессор Делинь, его научный руководитель по математике, имел большой опыт в области дифференциальных уравнений, и ему вполне можно было сначала показать, посмотреть, есть ли что-то, что нужно изменить, а затем уже отправлять статью.
В конце концов, он был один, и не обязательно мог учесть все аспекты, иногда с другой точки зрения можно увидеть что-то иное.
Взяв с собой рукопись с решением проблемы "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий", Сюй Чуань пересек кампус Принстона и быстро добрался до Принстонского института перспективных исследований.
Постучав в дверь кабинета наставника, он вошел внутрь, оба наставника, Уиттен и Делинь, были на месте.
Увидев его неряшливый вид, Делинь не удержался и нахмурился, спросив: "Как давно ты не выходил на улицу?"
Сюй Чуань почесал голову и со смехом ответил: "Может быть, два месяца?"
"Изучаешь рукопись, которую тебе оставила профессор Мирзахани? Что именно?" - с любопытством спросил Эдвард Уиттен, он не обратил внимания на внешний вид Сюй Чуаня.
Для ученого такой вид был вполне нормальным, в чисто теоретических расчетах, возможно, все было немного лучше, и, за исключением чудака Перельмана, редко можно было встретить математика, который довел бы себя до такого состояния.
Но во многих других дисциплинах часто приходилось проводить различные эксперименты, и в ЦЕРНе он общался со многими сотрудниками.
Иногда, когда ремонтировали какое-нибудь оборудование, эти сотрудники часто приводили себя в порядок, это было нормально.
Но вот слова Делиня о том, что Сюй Чуань изучает рукопись, оставленную ему профессором Мирзахани, вызвали у него любопытство.
Неужели у его ученика были какие-то отношения с профессором Мирзахани?
"Да".
Сюй Чуань кивнул и продолжил: "Некоторые идеи в области алгебраических многообразий, связанные с проблемой 'неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий'".
Услышав это, профессор Делинь приподнял веки, слегка наклонился вперед и с интересом спросил: "Можно мне взглянуть на рукопись?"
"Рукопись все еще в моем общежитии, но сегодня я принес кое-что из своих собственных исследований, прошу двух учителей посмотреть, нет ли в них каких-либо недостатков".
Сказав это, Сюй Чуань поднял рукопись, которую держал в руках, затем нашел в кабинете принтер, сделал копию рукописи и передал ее Делиню и Уиттену.
О профессоре Делине и говорить нечего, он один из двух обладателей всех главных премий в математике, к тому же дифференциальная алгебра и алгебраическая геометрия - его основная область.
И хотя Уиттен был физиком, его способности в математике были также очень сильны, ведь он получил Филдсовскую премию, и с его точки зрения, возможно, он сможет найти какие-нибудь лазейки.
Оба наставника с любопытством взяли рукопись у Сюй Чуаня и начали ее просматривать.
Они оба знали, что математические способности этого студента очень сильны, и что через год он с вероятностью девяносто девять и девяносто девять сотых процента займет одно из мест на Филдсовской премии.
Хотя он был молод, но в математике не всегда чем старше, тем лучше.
Возраст от двадцати пяти до сорока пяти лет - это золотое время для изучения математики, если моложе, то в голове недостаточно базовых знаний, чтобы заложить фундамент, а если старше, то мышление начинает закостеневать и стареть, и тоже сложно добиться каких-либо результатов.
Конечно, этот возрастной диапазон подходит не всем, особенно гениям с исключительными математическими способностями.
Без сомнения, Сюй Чуань тоже был таким гением, и даже превосходил Шульца и Тао Чжэсюаня. Ведь у первых двух не было достижений в решении математических задач мирового уровня в возрасте восемнадцати-девятнадцати лет. Поэтому исследования Сюй Чуаня вызывали у Делиня и Уиттена большой интерес.
"Неприводимое разложение дифференциальных алгебраических многообразий" - метод ассоциации теоретико-полевых алгебраических многообразий".
На первом листе рукописи в глаза Делиню и Уиттену бросился яркий заголовок, занимавший верхнюю часть листа, заставив их сердца дрогнуть, они одновременно подняли головы, посмотрели друг на друга, а затем снова опустили глаза на процесс доказательства.
Проблема неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий - еще одна математическая задача мирового уровня после гипотезы Вейля-Берри.
Неужели после более чем года обучения в Принстоне их ученик наконец-то снова сосредоточил свое внимание на области математики?
По сравнению с гипотезой Вейля-Берри, проблема неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий не сильно уступает ей по сложности, потому что это мост между алгебраической геометрией и дифференциальными уравнениями.
Если бы удалось решить эту проблему, математическое сообщество смогло бы распространить алгебраическую геометрию на алгебраические дифференциальные уравнения и дифференциальные многочлены.
Однако, хотя сложность и не уступает, но по сравнению с полнотой гипотезы Вейля-Берри, полнота проблемы неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий все же значительно меньше.
Гипотеза Вейля-Берри - это полная гипотеза, от слабой гипотезы Вейля-Берри до полного доказательства гипотезы Вейля-Берри, никто никогда не совершал прорыва.
А результат проблемы неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий был определен очень давно, неприводимое разложение дифференциальных алгебраических многообразий существует.
Просто математики до сих пор не смогли найти путь, ведущий к окончательному определению.
С другой стороны, у этой проблемы есть еще один "сводный брат": "неприводимое разложение разностных алгебраических многообразий".
Проблема неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий и проблема неприводимого разложения разностных алгебраических многообразий на самом деле происходят из теоремы Ритта-У о разложении нулей, и обе они были частично решены теоремой Ритта-У о разложении нулей.
Однако теорема Ритта-У о разложении нулей все еще имеет определенные ограничения в этих двух проблемах.
Одна из них заключается в необходимости дальнейшего получения неприводимого разложения, а другая - в неспособности предоставить алгоритм для разложения множества решений разностного алгебраического уравнения на неприводимые разностные алгебраические многообразия.
Если бы можно было одновременно решить эти две проблемы, то сложность системы могла бы превзойти гипотезу Вейля-Берри, но сложность одной только проблемы неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий действительно не сравнима с гипотезой Вейля-Берри.
Однако как легко говорить о решении этих двух проблем.
В частности, проблема неприводимого разложения разностных алгебраических многообразий, если рассматривать ее отдельно, по сложности не намного уступает гипотезе Вейля-Берри.
Хотя еще в 1930-х годах Ритт и другие доказали, что "любое разностное алгебраическое многообразие может быть разложено на объединение неприводимых разностных алгебраических многообразий".
Но до сих пор, спустя почти столетие, никто так и не смог дать алгоритм разложения множества решений разностного алгебраического уравнения на неприводимые разностные алгебраические многообразия.
За прошедшие семьдесят-восемьдесят лет не то чтобы никто не пытался решить эту проблему.
В том числе и Ритт и другие, доказавшие, что "любое разностное алгебраическое многообразие может быть разложено на объединение неприводимых разностных алгебраических многообразий", пытались распространить теорему Ритта-У о разложении нулей на алгебраические разностные уравнения.
Но полученный результат мог разложить разностное алгебраическое многообразие только в форму zero(s)=u/kzero(sat(ask)), а дальше продвинуться не удавалось.
Если через десять с лишним лет эта проблема все еще не будет решена, то она станет типичной проблемой века.
В кабинете Делинь и Уиттен погрузились в рукопись, которую держали в руках.
А Сюй Чуань привычно достал из кабинета своего наставника последний номер "Математических анналов" и принялся его читать.
В Принстонском институте перспективных исследований было много таких топовых журналов, почти у любого профессора, будь то математика, физика или другие естественные науки, в кабинете в основном была целая куча различных журналов.
Некоторые профессора выписывали сами, а некоторые журналы присылали сами. Делинь и Уиттен, естественно, относились ко вторым.
Это было связано с тем, что эти два топовых ученых по совместительству были научными редакторами различных топовых журналов.
Ведь в академическом мире, как правило, рецензирование - это добровольный труд, не приносящий никакого денежного вознаграждения.
В этом случае, чтобы найти подходящих рецензентов, журналы, естественно, платят чем-то другим. Например, предыдущие рецензенты освобождаются от платы за публикацию, им дарят журнальные статьи и тому подобное.
Конечно, помимо этого, есть и другие скрытые преимущества, такие как повышение личной репутации, постоянное обновление своего понимания текущих горячих точек исследований и так далее.
Ведь при рецензировании вы проверяете самые свежие научные работы, можете почерпнуть из рецензируемых рукописей различные идеи, методы и точки зрения, расширить свой кругозор, а также учиться на ошибках, допущенных другими исследователями, извлекать из них уроки, помогать совершенствовать свои собственные исследования и так далее.
Два старика и один молодой, трое погрузились в свои рукописи и статьи, и неизвестно, сколько времени прошло, прежде чем в кабинете снова стало оживленно.
"Поистине великолепно, не ожидал, что разложение Брюа и группу Вейля можно таким образом ввести в теорию поля", - воскликнул Делинь, закончив читать рукопись.
Проблема неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий - это сложная проблема в дифференциальных уравнениях и алгебраической геометрии, но она не относится к самой передовой математике, наоборот, она возникла на их основе.
Это похоже на то, как если бы нужно было проделать проход в нижнем этаже двух математических зданий, чтобы соединить их.
Хотя все знают, что если не затрагивать несущие стены, то это вполне осуществимо.
Но сложность заключается в том, что материал, из которого построены стены этих двух зданий, слишком твердый, будь то молоток, кувалда, лом или зубило, все эти ранее часто используемые математические инструменты не могут проделать в них отверстие.
А теперь Сюй Чуань создал новый инструмент, проделал отверстие в изначально неприступной стене, успешно соединил два здания, далее разложил дифференциальное алгебраическое многообразие на неприводимые дифференциальные алгебраические многообразия, тем самым предоставив процесс неприводимого разложения дифференциального алгебраического многообразия.
В этом инструменте Делинь увидел некоторые приемы и тени гипотезы Вейля-Берри, кроме того, там были некоторые вещи, связанные с алгебраическими группами, подгруппами и торами.
Просто неизвестно, сколько из этих вещей принадлежит профессору Марьям Мирзахани, а сколько - его ученику.
В конце концов, он не видел рукопись профессора Мирзахани и не знает, сколько всего было в той рукописи.
Но как бы то ни было, сложная проблема в математическом зале, скорее всего, снова будет устранена.
Он не сказал наверняка, но был уверен по крайней мере на восемьдесят-девяносто процентов.
Конечно, рукопись в руках не была на сто процентов идеальной, в ней были некоторые места, которые можно было немного подправить, но это были лишь мелкие детали.
Что касается того, есть ли другие серьезные недостатки, то сейчас это тоже невозможно определить, ведь это не простая проблема, сложность налицо, простого просмотра недостаточно, чтобы он мог гарантировать, что в ней точно нет проблем.