Глава 181. Использовать математическую задачу мирового уровня для проверки своих знаний •
Попросив у профессора Делиня недельный отпуск, Сюй Чуань заперся в общежитии, приводя в порядок рукописи, оставленные ему профессором Мирзахани.
На этот раз он не просто бегло просматривал их.
Он подробно изучал знания, содержащиеся в этих рукописях, впитывая и превращая их в свою собственную мудрость.
Наследие, оставленное умирающим лауреатом Филдсовской премии, пусть даже и частичное, было достаточным для того, чтобы обычный математик изучал его годами или даже полжизни.
Для Сюй Чуаня расчёты в этих оставленных рукописях не были чем-то ценным, при наличии математической базы многие могли их вычислить и вывести.
Но мысли, математические методы и направления, оставленные в этих формулах и записях, были бесценны.
Эти вещи, пусть даже ещё не сформировавшиеся, а лишь наброски идей, были результатом, которого многие математики не могли достичь за всю свою жизнь.
Ведь среди всех естественных наук, если говорить о зависимости от таланта, математика, несомненно, стояла на вершине пирамиды.
Даже физика и химия немного уступали математике в зависимости от таланта.
Можно сказать, что нет другой дисциплины, которая бы так зависела от таланта, как математика.
Это предмет, требующий сильного логического мышления, чтобы "по-настоящему" хорошо его изучить.
Математические задачи часто требуют от вас проявления определённой креативности для решения незнакомых проблем.
Если уровень учителя недостаточен, а вы не смогли сами найти правильный метод и направление, то, скорее всего, будете напрасно стараться и всё больше разочаровываться.
Нужно обладать не только прямым, но и обратным мышлением, в каждой области знаний есть множество формул, и между этими формулами существуют хитроумные связи; память, вычисления, доказательства, пространственное мышление, гибкость, преобразования - практически все навыки, которые можно найти в других предметах, проявляются в математике.
Многие пользователи сети говорят, что страх, внушаемый математикой, не зависит от возраста: в детстве боялся сам, а когда вырос, всё равно боюсь, помогая детям.
Другие пользователи сети говорят, что человека можно заставить сделать всё, кроме решения математических задач.
Хотя это всего лишь шутки, математика действительно является предметом, который невозможно хорошо изучить без таланта.
Возможно, до университета, благодаря различным тактикам решения задач и объяснениям известных учителей, вы сможете получить высший балл на вступительных экзаменах, но, поступив в университет или углубившись в изучение, вы быстро отстанете.
Даже потратив много времени и приложив максимум усилий, вы не обязательно сможете понять смысл некоторых математических тем и не сможете изучить и применить более сложные теоремы и формулы, чем в старшей школе.
Например, теорема Пифагора, которую начинают изучать в средней школе.
Три, четыре, пять.
Это воспоминание многих людей.
Однако многие запомнили только это, это самые распространённые пифагоровы тройки.
Но что дальше?
(5, 12, 13) (7, 24, 25) (9, 40, 41) ... 2n+1, 2n²+2n, 2n²+2n+1...
Это самая-самая основа математики, и неизвестно, сколько людей ещё помнят это.
Наверное, и десятой части не наберётся, не говоря уже о других математических формулах, теоремах и данных, связанных с пифагоровыми тройками.
Если у человека нет таланта к математике, изучение математики может быть довольно мучительным.
И нет ничего необычного в том, что на уроке математики у человека упала ручка, а когда он её поднял, то уже не мог уследить за ходом урока.
В общежитии Сюй Чуань, приводя в порядок рукописи, оставленные ему профессором Мирзахани, одновременно систематизировал знания, полученные им за последние полгода.
"Один из основных результатов алгебраической геометрии гласит: любое алгебраическое многообразие можно разложить на объединение неприводимых алгебраических многообразий. Это разложение называется неприводимым, если ни одно неприводимое алгебраическое многообразие не содержится в другом алгебраическом многообразии".
"В конструктивной алгебраической геометрии вышеупомянутая теорема может быть конструктивно реализована с помощью метода характеристических множеств Ритта-Ву. Пусть S - множество многочленов от n переменных с рациональными коэффициентами, обозначим через zero(S) множество общих нулей многочленов из S в поле комплексных чисел, то есть алгебраическое многообразие".
"..."
"Если после переименования переменных его можно записать в следующем виде:
A₁(u₁, ..., uq, y₁) = I₁y₁ᵈ¹ + члены меньшей степени относительно y₁;
A₂(u₁, ..., uq, y₁, y₂) = I₂y₂ᵈ² + члены меньшей степени относительно y₂;
......"
"Ap(u₁, ..., uq, y₁, ..., yp) = Ipypᵈᵖ + члены меньшей степени относительно yp".
"...Пусть As = {A₁, ..., Ap}, J - произведение инициалов Ai. Для вышеуказанных понятий определим sat(As) = {P | существует положительное целое число n, такое что JⁿP ∈ (As)}".
На листе бумаги Сюй Чуань шариковой ручкой переписал некоторые знания из своей головы.
В первой половине этого года он многому научился у своих наставников, профессоров Делиня и Виттена.
Особенно в таких областях математики, как теория групп, дифференциальные уравнения, алгебра и алгебраическая геометрия, которые, можно сказать, значительно его обогатили.
А в рукописях, оставленных ему профессором Мирзахани, содержалась часть знаний, связанных с дифференциальными алгебраическими многообразиями, и именно эти знания он сейчас приводил в порядок.
Как известно, алгебраические многообразия являются основным объектом изучения в алгебраической геометрии.
В алгебраической геометрии алгебраическое многообразие - это множество общих нулей множества многочленов. Исторически основная теорема алгебры установила связь между алгеброй и геометрией, показав, что многочлен от одной переменной над полем комплексных чисел определяется множеством своих корней, а множество корней является внутренним геометрическим объектом.
С XX века в алгебраической геометрии над полем комплексных чисел были достигнуты значительные успехи в трансцендентных методах.
Например, теория аналитических когомологий де Рама, применение теории гармонических интегралов Ходжа, теория деформаций Кодаиры и Спенсера и так далее.
Это позволило применять в исследованиях по алгебраической геометрии теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии, топологии и другие.
При этом основное понятие алгебраической геометрии - алгебраическое многообразие - также стало применяться в других областях, и в настоящее время оно уже распространено на алгебраические дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных и другие области.
Но в теории алгебраических многообразий до сих пор остаются нерешёнными некоторые важные вопросы.
Двумя наиболее важными из них являются "неприводимое разложение дифференциальных алгебраических многообразий" и "неприводимое разложение разностных алгебраических многообразий".
Хотя ещё в 1930-х годах Ритт и другие математики доказали, что любое разностное алгебраическое многообразие можно разложить на объединение неприводимых разностных алгебраических многообразий.
Однако конструктивный алгоритм для этого результата до сих пор не был предложен.
Хотя это и грубое объяснение, но оно вполне уместно.
И в рукописях профессора Мирзахани Сюй Чуань увидел некоторые мысли этой женщины-лауреата Филдсовской премии, которая прилагала усилия в этом направлении.
Видимо, под влиянием его выступления на конференции в Принстоне, профессор Мирзахани пыталась для двух заданных неприводимых дифференциальных возрастающих цепочек AS₁ и AS₂ определить, содержит ли sat(AS₁) множество sat(AS₂).
Это ключевой вопрос "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий". Ознакомившись со всей рукописью и углубленно изучив эту тему с профессором Делинем, он легко понял идею профессора Мирзахани.
В этом ключевом вопросе профессор Мирзахани предложила не совсем новую, но всё же оригинальную идею.
Она попыталась продвинуться дальше, построив алгебраическую группу, подгруппу и тор.
А вдохновение и методы, использованные для построения этих вещей, исходили из его предыдущей конференции в Принстоне и статьи о доказательстве гипотезы Вейля-Берри.
"Очень остроумный метод, возможно, действительно удастся распространить алгебраические многообразия на алгебраические дифференциальные уравнения, хотя процесс может быть немного извилистым".
Глядя на почерк в рукописи, Сюй Чуань проявил интерес, вытащил из стола лист бумаги для печати и начал записывать на нем шариковой ручкой.
"...Проблема неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий, в широком смысле, уже включена в теорему Ритта-Ву о разложении".
"Но теорема Ритта-Ву за конечное число шагов строит неприводимую возрастающую цепочку Ask и множество разложений, и в этих разложениях некоторые ветви являются избыточными... Чтобы удалить эти избыточные ветви, необходимо вычислить порождающее множество sat(As)".
"...Потому что, в конечном счете, она сводится к проблеме Ритта. То есть: A - неприводимый дифференциальный многочлен, содержащий n переменных, определить, принадлежит ли (0, ..., 0) множеству zero(sat(A))".
"..."
Шариковая ручка в руке, слово за словом, излагала мысли на бумаге.
Это основная работа перед началом решения проблемы, такая привычка есть у многих профессоров математики и научных работников, а не только у Сюй Чуаня.
Записать проблему, свои мысли и идеи чётко на бумаге, а затем подробно просмотреть и упорядочить.
Это похоже на написание плана перед написанием романа.
Это гарантирует, что до завершения книги основной сюжет будет вращаться вокруг главной линии; и не будет такого абсурда, что изначально это был городской развлекательный роман, а по ходу написания он превратился в роман о самосовершенствовании.
Заниматься математикой немного лучше, чем писать романы, математика не боится полёта фантазии, она боится отсутствия достаточных базовых знаний и идей.
В математических задачах очень важны случайные озарения и различные причудливые идеи, одно озарение или одна идея иногда могут решить мировую проблему.
Конечно, немало и тех, кто из-за ошибочных идей заводит свои исследования в тупик.
Если перенести это в мир онлайн-литературы, то это, вероятно, тот, кто всю жизнь пишет романы, всю жизнь терпит неудачи и с трудом подписывает контракт, или тот, кто написал бесчисленное количество книг, но обязательно бросает их до миллиона слов.
Приведя в порядок мысли в голове, Сюй Чуань пока отложил шариковую ручку.
Материалы, связанные с алгебраическими многообразиями, - это лишь часть знаний из рукописей, оставленных ему профессором Мирзахани. Сейчас ему нужно было привести в порядок все эти десятки страниц рукописей, а не с головой погружаться в исследование новой проблемы.
Хотя эта проблема немного щекотала ему нервы, и ему не терпелось начать исследование, но дела нужно доводить до конца.
Потратив несколько дней, Сюй Чуань должным образом привёл в порядок все рукописи, оставленные ему профессором Мирзахани.
Тридцать-сорок страниц рукописей, казалось бы, много, но после приведения в порядок они уместились менее чем на пяти страницах.
На самом деле, в оригинальных рукописях не так много действительно ценных идей и знаний, в основном это случайные вычисления профессора Мирзахани, а полезная суть в основном исходит из методов, использованных в статье о доказательстве гипотезы Вейля-Берри.
Конечно, знания профессора Мирзахани определённо не ограничиваются этим, но их общение было именно таким.
Сюй Чуань был очень благодарен профессору Мирзахани за то, что она оставила ему эти рукописи.
Потому что эти рукописи она вполне могла оставить своим ученикам или потомкам.
Опираясь на эти материалы, если бы наследник обладал определёнными способностями, то с большой вероятностью смог бы добиться на их основе определённых успехов.
Но профессор Мирзахани не была эгоистична, а вместо этого отдала эти материалы ему, "незнакомцу", которого видела всего один или два раза.
В этом, вероятно, и заключается величие академического мира.
Приведя в порядок полезные материалы, Сюй Чуань аккуратно убрал оригинальные рукописи, оставленные ему профессором Мирзахани, и положил их в книжный шкаф, специально предназначенный для хранения важных документов.
К этим вещам нельзя относиться с недостаточным уважением, и когда он вернётся в Китай, он обязательно заберёт их с собой.
Разобравшись с этим, Сюй Чуань снова сел за стол.
Отпуск, который он взял у профессора Делиня, заканчивался через два дня, и вместо того, чтобы возвращаться раньше, лучше использовать это время, чтобы попробовать решить проблему "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий".
Эта проблема действительно сложна, но теорема Ритта-Ву уже разложила соответствующие дифференциальные алгебраические многообразия на неприводимые дифференциальные алгебраические многообразия, осталось только получить неприводимое разложение.
Если бы он не получил наследие профессора Мирзахани, у него, вероятно, не возникло бы мысли исследовать эту область.
Изначально его целью были автоморфные формы и автоморфные L-функции в программе Ленглендса, но теперь можно немного отложить первоначальную цель.
Более того, область "неприводимого разложения дифференциальных алгебраических многообразий" - одна из областей математики, которую он изучал в первой половине этого года с профессором Делинем.
Пусть эта проблема станет проверкой его успехов в обучении.
Подумав об этом, Сюй Чуань уверенно улыбнулся.
Использовать математическую проблему мирового уровня в качестве проверочного задания для оценки результатов обучения - если сказать такое, то, скорее всего, другие сочтут это высокомерием.
Но у него была такая уверенность.
Она была приобретена не благодаря изучению математики в этой жизни, а благодаря восхождению на вершину в прошлой жизни.
Взяв со стола стопку бумаги, Сюй Чуань еще раз просмотрел ранее изложенные мысли, затем немного подумал и покрутил в руке шариковую ручку.
"Введение: Пусть k - поле, предположим, что k алгебраически замкнуто, пусть G - связная редуктивная алгебраическая группа над k, пусть Y - многообразие борелевских подгрупп группы G, пусть B ∈ Y, пусть T - максимальный тор группы B, пусть N - нормализатор группы T в группе G, пусть W = N/T - группа Вейля".
"Для любого w ∈ W, пусть Gw = BẇB, где w ∈ N представляет w".
"Пусть C ∈ W, пусть dC = min(l(w); w ∈ C) и пусть Cmin = {w ∈ C; l(w) = dC}".
"...Существует единственный γ ∈ G такой, что γN ∩ Gw непусто.
Всякий раз, когда γj ∈ G, γjN ∩ Gw непусто, имеем γ ≈ γj. И γ зависит только от C".