Глава 143. Самый сильный гений в истории математики •
"Использовать регулярность граничных точек функции Дирихле для построения функционального поля с регулярной границей, а затем ввести уравнение кривой через расширение поля, ограничив понятие двойственной редуктивной группы..."
В актовом зале отеля "Вэньцзинь Интернэшнл" Артур Авила пробормотал несколько слов, после чего его глаза внезапно прояснились, и он взволнованно посмотрел на Сюй Чуаня.
"Сюй, ты действительно достоин звания самого сильного гения в истории математики, это потрясающе, используя этот метод, возможно, действительно удастся ограничить и определить функториальность некоторых автоморфных групп."
Сюй Чуань смутился, что ещё за "самый сильный гений в истории математики"? Кто ему дал такое прозвище?
Однако во время обсуждения он не обратил на это особого внимания, кивнул и продолжил вслед за профессором Артуром Авилой:
"Более того, первым примером проверки гипотезы функториальности Ленглендса была функториальность между автоморфными представлениями GL2 на алгебраическом числовом поле и представлениями мультипликативной подгруппы алгебры кватернионов."
"Функториальность, доказанная в этой классической работе, также устанавливает связь между первоначальной формой гипотезы Артина и гипотезой функториальности, а гипотеза Артина была переформулирована как гипотеза функториальности между двумерными комплексными представлениями группы Галуа и представлениями автоморфной группы GL2."
"Следовательно, гипотеза Артина утверждает, что L-функции Артина, построенные на группе Галуа, голоморфны, в то время как гипотеза Ленглендса утверждает, что эти L-функции Артина на самом деле должны быть L-функциями представлений автоморфных групп."
Услышав это, профессор Артур Авила погрузился в размышления, но вскоре внезапно пришёл в себя и сказал с долей сомнения и уверенности:
"Если удастся доказать гипотезу Артина, то можно будет продвинуть L-функции Артина в гипотезе Ленглендса на большой шаг?"
Сюй Чуань кивнул и сказал: "Судя по текущей теории, это действительно так."
Затем он покачал головой и сказал: "Но..."
"Но решить гипотезу Артина слишком сложно", - вздохнул профессор Артур Авила, заканчивая фразу, которую не договорил Сюй Чуань.
Сюй Чуань молча согласился и больше ничего не сказал.
Гипотеза Артина, также известная как новая гипотеза Мерсенна, является расширением и производной знаменитой гипотезы Мерсенна и представляет собой гипотезу о простых числах.
Если вы не слышали о гипотезе Артина и гипотезе Мерсенна, то о знаменитой гипотезе Гольдбаха, вероятно, слышало большинство людей.
Все они относятся к одному типу гипотез, можно сказать, что все они происходят из простых чисел.
В математике люди впервые сталкиваются с натуральными числами, такими как 0, 1, 2, 3, 4.
Среди таких натуральных чисел, если число больше 1 и не может быть разделено нацело на другие натуральные числа (кроме 0), то это число называется простым числом.
Число, большее 1, но не являющееся простым, называется составным числом, а 1 и 0 являются особенными, они не являются ни простыми, ни составными числами.
Еще две с половиной тысячи лет назад люди заметили это странное явление, и древнегреческий математик, отец геометрии Евклид, в своем самом известном труде "Начала" предложил очень классическое доказательство.
А именно: Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много, и предположил, что небольшое количество простых чисел можно записать в виде "2^p-1", где показатель p также является простым числом.
Это доказательство называется "теоремой Евклида о простых числах" и является одним из самых основных и классических утверждений в теории чисел.
Классика никогда не устаревает, и последующие математики, изучая "теорему Евклида о простых числах", вывели различные гипотезы о простых числах.
Начиная с гипотезы о простых числах Мерсенна, гипотезы Чжоу, гипотезы о простых числах-близнецах, спирали Улама, гипотезы Гилбрейта и заканчивая знаменитой гипотезой Гольдбаха и так далее.
Существует множество гипотез, вытекающих из простых чисел, но большинство из них не доказаны.
Новая гипотеза о простых числах Мерсенна, о которой говорили Сюй Чуань и профессор Артур Авила, является гипотезой, вытекающей из простых чисел, также известной как гипотеза Артина, и является обновленной версией первоначальной гипотезы о простых числах Мерсенна.
Среди множества гипотез о простых числах она по сложности сравнима с гипотезой о простых числах-близнецах и уступает только знаменитой "гипотезе Гольдбаха".
【Новая гипотеза о простых числах Мерсенна: для любого нечётного натурального числа p, если два из следующих утверждений верны, то верно и третье:
1. p=(2^k)±1 или p=(4^k)±3.
2. (2^p)- 1 - простое число (простое число Мерсенна).
3. [(2^p)+ 1]/ 3 - простое число (простое число Вагстаффа).】
Новая гипотеза о простых числах Мерсенна состоит из трёх вопросов, которые тесно связаны друг с другом: если можно доказать два из них, то оставшийся будет верен естественным образом.
В истории развития науки поиск простых чисел Мерсенна в эпоху ручных вычислений служил важным показателем развития человеческого интеллекта.
Подобно современным тестам IQ, чем больше простых чисел Мерсенна человек может вычислить, тем умнее он считается.
Хотя простые числа Мерсенна кажутся простыми, когда значение показателя p велико, их исследование требует не только глубоких теорий и отточенных навыков, но и кропотливых вычислений.
Самый известный пример: Эйлер, известный как "бог математики", будучи слепым, в уме доказал, что 2^31-1 является восьмым простым числом Мерсенна.
Это 10-значное простое число (т.е. 2147483647) было самым большим известным простым числом в то время.
Обычный человек хорошо справляется со сложением, вычитанием и умножением трёхзначных чисел, но Эйлер мог в уме оперировать числами до миллиардов, его ужасающие вычислительные способности, скорость реакции мозга и навыки решения задач, можно сказать, достойны звания "избранника небес".
Это простое число также является самым большим из известных простых чисел, оно состоит из 17425170 цифр, что на 4457081 цифру больше, чем у предыдущего обнаруженного простого числа Мерсенна.
Если распечатать его обычным стандартным шрифтом 18-го размера, его длина превысит шестьдесят пять километров.
Это число, хотя и очень большое, но в математике оно очень и очень маленькое.
Поскольку "числа" бесконечны, числа имеют понятие бесконечности, и с точки зрения математики, после числа 2^57885161-1 (2 в степени 57885161 минус 1) никто не знает, сколько ещё простых чисел существует. Это путешествие по поиску, самое масштабное в истории математики, продолжающееся тысячелетия: сколько простых чисел Мерсенна существует, бесконечно ли их количество, до сих пор никто не может дать ответ.
Доказать новую гипотезу о простых числах Мерсенна ничуть не менее сложно, чем доказать гипотезу Вейля-Берри, которую Сюй Чуань доказал ранее.
На сегодняшний день самым сложным доказательством гипотезы о простых числах в математическом сообществе является слабая гипотеза Гольдбаха.
А именно: 【Любое нечётное число, большее 7, может быть представлено как сумма трёх нечётных простых чисел.】
В мае 2013 года исследователь из Высшей нормальной школы Парижа Харальд Хельфготт опубликовал две статьи, в которых объявил о полном доказательстве слабой гипотезы Гольдбаха.
Кроме того, в том же году китайский математик Чжан Итан добился значительного прогресса в доказательстве гипотезы о простых числах.
Его статья "Ограниченные расстояния между простыми числами" была опубликована в журнале "Annals of Mathematics", решив проблему, которая мучила математическое сообщество на протяжении полутора веков, доказав ослабленную форму гипотезы о простых числах-близнецах.
А именно: было обнаружено, что существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми меньше 70 миллионов.
Это был первый случай, когда кто-то доказал существование бесконечного числа пар простых чисел с разностью, меньшей определённого значения.
Но для математического сообщества и слабая гипотеза Гольдбаха, и слабая теорема о простых числах-близнецах - это всего лишь прелюдия к восхождению на вершину.
Они подобны громкому национальному гимну, который альпинист, поднимающийся на Эверест, слышит перед стартом, он может в определённой степени придать альпинисту смелости, но надеяться с его помощью взобраться на Эверест и встать на вершину нереально.
"Сюй, ты бы попробовал развиваться в направлении теории чисел?"
После минутного молчания профессор Артур Авила поднял глаза на Сюй Чуаня.
Этот самый молодой гений в истории математического сообщества, если бы он развивался в направлении теории чисел, возможно, у него был бы шанс сорвать большой плод в области простых чисел?
Он не мог сказать наверняка, ведь кто может быть уверен в таких вещах.
Артур Авила очень хотел увидеть день, когда гипотеза Гольдбаха будет доказана, но не хотел, чтобы эта новая звезда математического сообщества с головой ушла в неё на годы или даже десятилетия, не добившись результатов.
Простые числа развивались тысячелетиями, бесчисленное количество математиков бросались в эту огромную яму, и хотя было доказано немало гипотез и решено немало проблем,
но с самого начала самые сложные из этих проблем так и не были решены.
И даже не видно надежды на их решение.
Но если Сюй Чуань продолжит углубляться в спектральную теорию, функциональный анализ и функцию Дирихле, нельзя сказать, что он обязательно внесёт больший вклад, чем гипотеза Вейля-Берри, но он определённо сможет ещё больше расширить границы в этих областях, расширить охват математики.
А вот если он перейдёт в теорию чисел, то неизвестно.
Не каждый гений - это Теренс Тао, на данный момент математический талант Сюй Чуаня действительно выше, чем у Теренса Тао, но что будет после смены области, никто не знает.
Сюй Чуань не дал Авиле точного ответа, за прошедший год он действительно прочитал немало книг, связанных с теорией чисел, но теория чисел не входит в его дальнейшие планы обучения и исследований.
Он больше склоняется к функциям и анализу, которые могут быть применены на практике и решать физические проблемы, а теория чисел в основном изучает свойства целых чисел и является чистой математикой.
Конечно, математика развилась до такой степени, что нельзя сказать, что какая-либо область математики является чистой математикой, она всегда может быть связана с другими областями.
Например, в статистической механике основным математическим объектом исследования является статистическая сумма, а в аналитической теории распределения простых чисел основным объектом является дзета-функция.
Таким образом, эта неортодоксальная интерпретация дзета-функции как статистической суммы указывает на возможную фундаментальную связь между распределением простых чисел и этой областью физики.
Просто на данный момент применение теории чисел в физике довольно ограничено, оно далеко не так широко, как математический анализ, преобразование функций и математические модели.
Поэтому Сюй Чуань не очень склонен вкладывать много сил и времени в область чистой теории чисел.
Но изучать теорию чисел он определённо будет.
Потому что теория чисел - это не только чистая теория чисел, есть ещё аналитическая теория чисел, алгебраическая теория чисел, геометрическая теория чисел, вычислительная теория чисел, арифметическая алгебраическая геометрия и другие разделы.
Эти разделы возникли из чистой теории чисел, то есть элементарной теории чисел, в сочетании с другими разделами математики.
Например, аналитическая теория чисел использует математический анализ и комплексный анализ (то есть функции комплексного переменного) для изучения вопросов теории чисел, связанных с целыми числами.
То, что он обсуждал сегодня вечером с профессором Авилой, имеет определённое отношение к аналитической теории чисел,
потому что методы аналитической теории чисел, помимо метода кругов, метода решета и т. д., также включают теорию модулярных форм, связанную с эллиптическими кривыми, и т. д. В дальнейшем она развилась до теории автоморфных форм, что связало её с теорией представлений.
Поэтому наличие определённой базы в теории чисел очень помогает в изучении других разделов математики.