Глава 6. Давай сначала реши задачу •
В тихом классе Сюй Чуань листал учебник по математике, среди толстой стопки книг на его столе были и учебники по математике для первого и второго классов старшей школы, взятые из библиотеки.
В конце концов, прошло слишком много времени, и он забыл, как выглядят учебники, поэтому ему пришлось начать с самого начала, чтобы не пропустить какие-либо знания, которые могли бы привести к потере баллов на экзамене, и это было бы большим позором.
Обладатель Филдсовской премии не смог получить высший балл на обычных соревнованиях в старшей школе, лучше бы он переродился, разбил медаль и вернулся домой выращивать батат и свиней.
Прошло больше часа, прозвенел звонок об окончании обеденного перерыва, и учитель Гун, о котором говорил Сун Кайцзи, вошёл в класс.
"Здравствуйте, учитель Гун".
"Здравствуйте, учитель Гун".
В классе ученики, которые читали книги и делали задания, приветствовали его, Сюй Чуань поднял голову и увидел мужчину в серо-чёрном клетчатом шерстяном свитере, невысокого роста, в очках.
В отличие от почти лысой причёски Сун Кайцзи, у этого учителя Гун Жихуэя были очень густые волосы, настолько густые, что можно было усомниться, занимается ли он математикой, настолько густые, что они совершенно не соответствовали представлению о лысом учителе математики.
"Здравствуйте, учитель Гун".
Сюй Чуань тоже почтительно поздоровался, как участник, который часто участвовал в соревнованиях, хотя и не по одному и тому же предмету, но он знал его.
Несмотря на то, что этот учитель Гун не был похож на математика из-за своих густых волос, он уже более десяти лет руководил командой математиков Первой средней школы города Синчэн, и среди его учеников были даже те, кто получил золотую медаль IMO.
"Сюй Чуань пришёл? Давай, сначала реши задачу".
Гун Жихуэй оглядел класс и сразу же увидел, что в классе появился ещё один человек, с улыбкой написал на доске математическую задачу и сразу же назвал имя Сюй Чуаня.
Он, естественно, знал этого гения физики, и, как и Сун Кайцзи, считал, что жаль, что такой хороший росток пошёл изучать физику.
Как же хороша наша математика, основа всех наук!
Без математики ты даже не сможешь посчитать сдачу при покупке овощей.
"Найдите все пары положительных целых чисел (x, y), удовлетворяющие уравнению xy = y^x - y. (^ означает возведение в степень)".
Гун Жихуэй небрежно написал на доске математическую задачу, бросил белый мел на кафедру и с улыбкой посмотрел на гения физики внизу.
Сюй Чуань был знаком с такой манерой начинать урок с решения задачи.
Будь то физика или математика, на пути к соревнованиям есть только два слова - решение задач, он уже бесчисленное количество раз сталкивался с этой сценой, был знаком с ней и нисколько не нервничал, прямо встал и приготовился решать задачу.
"Брат Чуань, давай, взорви им задницу, я поддерживаю тебя!"
Рядом с ним раздался тихий подбадривающий голос Лу Тяньжуя с круглым лицом.
Сюй Чуань только встал, как вдруг споткнулся, услышав эти слова, и с трудом удержался, оперевшись на стол.
Неужели те, кто занимается математикой, такие извращенцы?
Перед доской Сюй Чуань небрежно вытащил мел из кафедры, задача, которую задал учитель Гун, была сложной, но на самом деле большинство старшеклассников могли решить её часть.
Как и последняя большая задача на вступительном экзамене по математике, первый подвопрос в основном даётся бесплатно, и его легко решить.
Но сложность следующих подвопросов возрастает экспоненциально.
Нетрудно было определить её несложную часть, даже ученик средней школы мог увидеть, что её первый ответ - (1, 1).
Перед доской Сюй Чуань посмотрел на задачу, подумал несколько секунд и сразу же приступил к решению.
"Решение: легко получить, что x = y = 1 удовлетворяет условию задачи, поэтому x = y = 1 является ответом, есть решение, когда уравнение имеет решение, должно быть x ≥ y.
Если x = y, то x = y = 1.
Если x ] y ≥ 2, то из x^y = y^x - y получаем 1 less (x/y)^y = y^x - 2y, и y | x.
Пусть x = ky, тогда k ≥ 3, k^y = y^(k - 2)y, следовательно, k = y^k - 2.
Так как y ≥ 2, то y^k - 2 ≥ 2^k - 2, так как при k ≥ 5, y^k - 2 ≥ 2^k - 2 ] k, следовательно, k = 3, 4.
Когда k = 3, y = 3, x = 9; когда k = 4, y = 2, x = 8;
Следовательно, все искомые пары положительных целых чисел (x, y) = (1, 1), (9, 3), (8, 2)".
Мел в руке не останавливался ни на секунду, и всего за одну минуту на доске был выписан полный процесс доказательства.
Гун Жихуэй взглянул на доску, удовлетворённо кивнул и сказал: "Неплохо, ясный ход мыслей, лаконичное доказательство, стандартный формат, хороший росток".
"Но я должен напомнить тебе, что есть некоторые различия между математическими и физическими соревнованиями: физические соревнования более или менее связаны со знаниями университетского уровня, но математические соревнования в основном нет, и все задачи могут быть решены с помощью знаний математики старшей школы".
"Если ты самостоятельно изучал высшую математику и другие предметы университетской математики, старайся не использовать их на внутренних соревнованиях, потому что это может привести к выходу за рамки программы и потере баллов".
"Конечно, если ты сможешь пробиться в IMO, то это не имеет значения".
Сюй Чуань кивнул, показывая, что понимает.
На самом деле, ученики, участвующие в соревнованиях, будь то математика, физика, химия, биология или информатика, в той или иной степени читали университетские учебники, просто у каждого разная степень глубины чтения.
Он не был исключением: его учебники по высшей математике, механике, теплотехнике, электромагнетизму, оптике и квантовой физике, которые использовались только в университете, были в основном прочитаны в старших классах.
Если использовать университетскую математику для решения задач во время соревнований, то для других учеников, которые меньше учились, это, несомненно, будет ударом по снижению размерности, что несправедливо.
В первые годы соревнований, как внутри страны, так и за рубежом, использование университетских знаний для решения задач было запрещено, но позже это правило было значительно ослаблено для всех предметов, кроме математики.
Например, по физике, его основной специальности, в последние несколько лет на IPhO было много вопросов по университетским знаниям, а в прошлом году даже были вопросы по схемотехнике, а это уже материал второго курса и выше.
Что касается математики, то сейчас IMO не запрещает использовать университетские знания для решения задач, а изменила правила так, чтобы составители задач разрабатывали задачи, чтобы избежать использования студентами университетских знаний для решения задач.
Те, кто может составлять задачи для IMO, - все без исключения мэтры математики, их знания намного шире, чем у маленьких новичков, участвующих в IMO на этапе старшей школы, и они могут составлять задачи, которые можно решить, используя только знания старшей школы.
Если в этом случае ты всё ещё можешь использовать знания, выходящие за рамки программы, для решения задач, то это не имеет значения.
Хотя справедливость необходима, но разве цель IMO не в том, чтобы отобрать математических гениев?
Если твои знания на этапе старшей школы могут прорвать блокаду этих математиков и профессоров математики, то нет необходимости бояться, что ты возгордишься, и принудительно вычитать несколько баллов.
Конечно, это не значит, что университетская математика бесполезна и её не нужно изучать, наоборот, изучать университетскую математику очень даже нужно.
Потому что это может расширить твои идеи и облегчить решение задач, чтобы не сжигать клетки мозга в геометрической прогрессии.