Глава 1127. Новые идеи в гипотезе Ходжа •
В начале года, ещё до того, как Лу Чжоу переманил Чэнь Яна из математического центра университета Янь, Чэнь Ян уже начал исследование гипотезы Ходжа.
Лу Чжоу до сих пор помнил, как видел Чэнь Яна, работавшего над методом анализа гиперэллиптических кривых на доске. Чэнь Ян использовал весьма остроумный математический инструмент, чтобы усовершенствовать этот метод, изначально предназначенный для решения гипотезы Римана. Это означало, что метод анализа гиперэллиптических кривых теперь можно было применять к сингулярным комплексным алгебраическим многообразиям, а также к геометрическим проблемам, определенным на подмногообразиях.
Это произвело на Лу Чжоу благоприятное впечатление, что и побудило его переманить Чэнь Яна из математического центра университета Янь.
С тех пор прошел почти год, а сколь-либо значительного прогресса в доказательстве гипотезы Ходжа так и не было. Не говоря уже о том, что Лу Чжоу был занят унификацией алгебры и геометрии; он совершенно забыл об этой гипотезе.
— Проходи, давайте поговорим в моем кабинете.
Лу Чжоу привел Чэнь Яна в свой кабинет, достал маркерную доску и протянул Чэнь Яну маркер.
Не теряя времени, Чэнь Ян на секунду задумался, а затем нарисовал на доске круг. Он обозначил его как S и записал строку выражений.
— Для компактной поверхности S без границы гауссову кривизну K можно проинтегрировать по Лебегу по всей её поверхности.
Чэнь Ян продолжал писать, одновременно поясняя.
— Мы все знаем, что поверхность может допускать не одну метрику, поэтому я попытался изменить метрику на S. Соответствующая гауссова кривизна K также изменяется, но значение интеграла остается неизменным. Метрика не имеет отношения к характеристике Эйлера X(S) поверхности. Используя это свойство, мы можем…
Лу Чжоу посмотрел на вычисления на доске и с интересом приподнял брови.
— Теорема Гаусса-Бонне?
Чэнь Ян перестал писать и кивнул.
— Верно.
Он записал формулу теоремы Гаусса-Бонне.
Увидев это, Лу Чжоу заинтересовался еще больше.
На самом деле, у него уже сложилось общее представление о том, что Чэнь Ян пытается сделать.
В соответствии со свойствами многомерных римановых многообразий M, гауссова кривизна может быть обобщена до секционной кривизны, в то время как её значение может определяться тензором римановой кривизны. Интегральная функция представляла собой сложное алгебраическое выражение, составленное из тензора кривизны и интеграла Гаусса-Бонне.
Что касается её интеграла по всему многообразию, то он определяется характеристическим числом Эйлера X(M).
Используя эти свойства, теорию Ходжа можно распространить на некомпактные многообразия.
Эти новые глубокие математические соотношения были обнаружены профессором Шиин-Шеном Черном и являются одним из знаменитых применений теоремы Гаусса-Бонне.
Комбинируя это с методом L²-когомологий сэра Атья, эту гипотезу, возможно, действительно удастся доказать.
Конечно, для того чтобы найти полное доказательство, потребуются более углубленные исследования.
Лу Чжоу с удовлетворением кивнул.
"Неплохо".
"Очень даже неплохо".
Сам того не замечая, позади Чэнь Яна собралась небольшая толпа.
Люди в кабинете начали пристально следить за ним с того момента, как он начал писать на доске.
Ли Мо смотрел на уравнения на доске и произнес:
— Неужели это та самая легендарная…
Хэ Чанвэнь нахмурился, взглянув на юношу, и сказал:
— Легендарная что? Договаривай мысль.
Ли Мо посмотрел на него с удивлением.
— Гипотеза Ходжа! Само собой разумеется.
Хэ Чанвэнь:
— …
"С чего это вдруг"само собой разумеется"?!"
"Хотя, пожалуй, это и впрямь очевидно".
Хэ Чанвэнь не мог не солгать самому себе.
"Да, конечно, я бы точно это понял".
Чэнь Ян остановился, закончив писать на доске, и задумался.
Очевидно, он прошел лишь половину этого пути. Он еще не успел продумать, куда двигаться дальше.
Внезапно заговорил профессор Перельман.
— Это весьма интересный путь.
— А вы когда успели здесь оказаться?
— Примерно когда вы были на полпути… Я зашел найти профессора Лу Чжоу, — Перельман сделал небольшую паузу и сказал. — … Можно я воспользуюсь маркером?
Чэнь Ян, не колеблясь, протянул ему маркер.
Перельман взял маркер, немного подумал и затем начал записывать несколько строк выражений.
— Поскольку теперь существует единая теория алгебраической геометрии, доказательство формулы 3 становится тривиальным.
— Моя рекомендация для последующей части доказательства заключается в том, что мы можем отобразить компактное многообразие M на его универсальное накрывающее многообразие и получить полное некомпактное многообразие M.
— Согласно теореме Атья, если мы сможем доказать, что все, кроме средней L²-группы гомологий, равно нулю при условии секционной кривизны…
Он быстро записал простое и изящное уравнение.
Зрачки Чэнь Яна расширились, когда он увидел это.
Его осенило, и он произнес с волнением:
— Так мы сможем доказать гипотезу Ходжа!
Но вот в чем была проблема.
Как им доказать, что при секционной кривизне L²-группа гомологий равна нулю?
Разговор внезапно прервался.
После первоначального возбуждения оба погрузились в молчание.
В конце концов, они посмотрели на Лу Чжоу.
Лу Чжоу заметил их взгляды. Он моргнул и сказал с улыбкой:
— Я считаю, ваши идеи весьма хороши… Хотя я лично не занимался глубоко исследованиями в этой области, моя интуиция подсказывает мне, что с вероятностью в 80% этот путь окажется работоспособным.
Он сделал паузу и продолжил:
— Этот путь очень интересен, почему бы вам не заняться этим исследованием вместе?
Казалось, они поняли, к чему клонит Лу Чжоу.
Перельман нахмурился и произнес:
— А вы разве не присоединитесь? Это интересная проблема.
На самом деле, она была больше чем просто интересной.
Гипотеза Ходжа представляла собой сочетание трех основных областей математического анализа: топологии, алгебры и геометрии.
Будучи проблемой тысячелетия, в её сложности не было никаких сомнений.
К удивлению Перельмана, Лу Чжоу не выглядел заинтересованным вовсе.
Лу Чжоу:
— Мне это интересно, но у меня есть работа в МЦКПТ [Международный союз по гипотетическим исследованиям космоса и смежным расчетам], так что, возможно, у меня не будет времени заниматься математическими исследованиями.
На лице Перельмана отразилось разочарование.
— Это прискорбно.
— Хотя я сам не могу над этим работать, я могу поручиться за профессора Чэнь Яна, — сказал Лу Чжоу, похлопывая Чэнь Яна по плечу. Он добавил. — Он — превосходный исследователь, я уверен, вы это уже и так поняли. В любом случае, если вы будете работать вместе, я уверен, что вы сможете решить эту проблему.
Перельман не согласился с утверждением Лу Чжоу о том, что они смогут решить проблему. Он посмотрел на Чэнь Яна, ничего не сказав, и кивнул, давая понять, что принимает Чэнь Яна в качестве напарника.
Оба они были людьми немногословными.
Лу Чжоу прочистил горло и обратился к Перельману:
— Кстати говоря, у вас нет проблем с тем, чтобы остаться здесь? Ведь работа по унификации алгебры и геометрии уже завершена.
— Никаких проблем, — Перельман покачал головой и сказал. — Я уже звонил матери. Она сказала, что мне следует делать то, что я хочу. Она не против. У меня здесь остались незаконченные дела… Я хочу решить гипотезу Ходжа перед отъездом.
Лу Чжоу был удивлен желанием Перельмана остаться. Он, разумеется, не мог не радоваться этому и сказал с улыбкой:
— Тогда вы можете остаться в своей квартире, я оформлю продление для вас.
Перельман кивнул и сказал:
— Благодарю вас.