Глава 1151. Еще более сильный профессор Сюй •
— Пусть X — гладкое проективное алгебраическое многообразие над полем k, e — простое число, взаимно простое с характеристикой k. Hi(X, Qe) — i-я когомологическая группа X с e-адическими коэффициентами. Пересечение X с гиперплоскостью в проективном пространстве — подмногообразие X.
— Пусть L — линейное отображение, определенное как cup-произведение с классами когомологий этого подмногообразия: Hi(X, Qe) → H^i+2(X, Qe).
— Для гладкого алгебраического многообразия X, определенного над Q, рассмотрим его модулярное приведение по модулю p. Для почти всех p приведение является хорошим. Пусть Xp — гладкое алгебраическое многообразие, определенное над Fp. Тогда ζXp(s) = Z·Xp(P^-s) := Eep(∑n≥1·Nn/n·pns).
У доски Сюй Чуань с легкой улыбкой на лице, записывая свои мысли и объясняя их.
Стоя позади Сюй Чуаня, Фальтинс с интересом смотрел на уравнения на доске.
Если говорить о проблемах, общепризнанных в математическом сообществе как более сложные, чем семь задач тысячелетия, то стандартная гипотеза, предложенная папой Александром Гротендиком, несомненно, является одной из них.
Стандартную гипотезу Гротендик предложил во время изучения гипотезы Вейля и на ее основе построил теорию мотивов.
И сегодня теория мотивов направляет развитие арифметической алгебраической геометрии.
Кроме того, стандартная гипотеза имеет много глубоких следствий. Она может вывести гипотезу Вейля и доказать, что действие Фробениуса на когомологических группах гладкого проективного алгебраического многообразия является полупростым.
В то же время она также может доказать, что числовая эквивалентность и гомологическая эквивалентность алгебраических цепей в алгебраическом многообразии являются одним и тем же отношением эквивалентности.
Можно сказать, что стандартная гипотеза, предложенная Гротендиком, — это настоящее сокровище математики, и математическое сообщество может извлечь из нее слишком много ценного.
Взгляд упал на доску перед ним, и в глазах Фальтинса появилось выражение любопытства.
Судя по математическим формулам, которые только что написал Сюй Чуань, он, должно быть, хотел использовать уже доказанную гипотезу Вейля, чтобы аналитически продолжить гладкое алгебраическое многообразие X на всю плоскость, чтобы удовлетворить гипотезе Римана.
Эта идея, с помощью теоремы Уайлса и Тейлора, то есть доказанной гипотезы Таниямы-Симуры, которая является частным случаем программы Лангландса, является ключевой для доказательства Великой теоремы Ферма.
Но ключевой вопрос заключается в том, что разложение L_E(s) в точке s=1 содержит информацию о структуре E, это одна из семи задач тысячелетия — гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (гипотеза BDS), которая до сих пор не доказана.
— Интересно, что он собирается делать?
Взгляд упал на спину перед ним, и в глазах Фальтинса мелькнуло задумчивое выражение. Он представил себя на месте Сюй Чуаня и продолжал пытаться вывести формулы на доске.
Мысли в голове проносились как молнии, и один за другим, казавшиеся осуществимыми планы, он отвергал.
Hasse-Weil ζ/ L-функция содержит огромное количество число-теоретической информации, и в процессе ее вывода только L_E(s), определенная для эллиптической кривой, включает в себя несколько сложных математических теорем и гипотез.
В настоящее время математическое сообщество бессильно перед общими многомерными алгебраическими многообразиями X, и все достижения почти основаны на попытках построить программу Лангландса на многообразиях Шимуры.
— Как он собирается найти точное утверждение для многомерного алгебраического многообразия X, предложить возможный путь доказательства и, наконец, успешно доказать его?
Стоя рядом с Фальтинсом, Питер Шульц, Теренс Тао и другие также выразили в своих глазах сомнение и удивление.
Все присутствующие — настоящие «боги» математики, каждый из которых является выдающимся ученым, обладающим премией Филдса. Исследовательские идеи Сюй Чуаня, естественно, легко им понять.
Но чем лучше они понимают эту исследовательскую идею, тем труднее и даже невозможно им кажется пройти по этому пути.
Если бы у одного человека возникла такая идея, возможно, он просто не очень хорошо разбирается в исследованиях в этой области.
Но если почти все присутствующие пришли к выводу, что этот путь трудно или невозможно пройти, то, возможно, этот путь действительно непроходим.
Если только Сюй Чуань не сможет решить гипотезу BDS прямо здесь сегодня.
В противном случае этот исследовательский подход выглядит как тупик.
И возможно ли решить гипотезу BDS сегодня?
В кабинете группа выдающихся математиков, наблюдая за тем, как тот продолжает излагать свои исследовательские идеи и направление, испытывали сложные эмоции.
Перед доской Сюй Чуань не подозревал о сложных психологических изменениях этой группы людей. Написав строку математических формул, он повернулся и с улыбкой заговорил.
— Третью часть гипотезы Вейля можно рассматривать как гипотезу Римана для алгебраических многообразий над конечными полями, а проблема рациональных точек на эллиптических кривых в основном связана с алгебраической теорией чисел.
— Я уверен, что все присутствующие хорошо это знают и легко видят, что моя исследовательская идея основана на гипотезе Вейля и аналитическом продолжении гладкого алгебраического многообразия X.
— И в этом есть огромная проблема, а именно, как обрабатывать L_E(s), определенную для эллиптической кривой. Эта проблема связана с гипотезой BDS и другими сложными математическими проблемами.
— Итак, теперь я покажу самый важный ключевой момент в своей исследовательской идее!
«Смотрите!»
Сказав это, он повернул доску и стер исследовательскую идею Фальтинса о локальной гипотезе соответствия Лангландса, продолжая писать.
— Дано аналитическое продолжение ζK(s) на всей комплексной плоскости, продолженная мероморфная функция ζK(s) имеет только простой полюс в s=1. Аналогично, мы также имеем функциональное уравнение и гипотезу Римана.
— И для обычно мероморфной функции ζK(s) с простым полюсом только в s=1 мы обычно называем это расширенной гипотезой Римана.
— Дана эллиптическая кривая E над Q, пусть r обозначает ее ранг, упорядочите все классы изоморфизма эллиптических кривых над Q по высоте, ее средний ранг имеет верхнюю границу 7/6, тогда E с r=0 занимает положительную долю среди всех эллиптических кривых над Q.
— Более того, пусть L(s, E) — функция Вейля-Хассе, пусть r_a — порядок нуля L(s, E) в s=1, тогда E, удовлетворяющее гипотезе BSD, занимает положительную долю среди всех эллиптических кривых над Q, и учитывая конечное расширение поля функций, особенно квадратичное расширение.
Перед доской Сюй Чуань понемногу выводил свои мысли на черную доску.
Вскоре вся поверхность доски была заполнена. Но это место, где исследуют великое объединение математики, и отсутствие чего-либо другого было бы невозможно без доски.
Вытащив из угла еще одну доску, он продолжал совершенствовать свои идеи.
Сжимая в руке маркер, Сюй Чуань полностью забыл об окружающем мире и о своем положении, сосредоточившись лишь на том, чтобы перенести в этот мир ту головоломку, которая сложилась у него в голове, выводя каждую линию.
В то же время все в кабинете следили за его рукой с маркером, перемещая свои взгляды.
— Так вот как это… Я понял.
С развертыванием самой важной ключевой формулы в глазах Фальтинса промелькнуло озарение, и он посмотрел на спину перед доской, словно увидел в ней иллюзию.
Ему показалось, что фигура перед доской, как и тот величественный силуэт, с которым он случайно встретился на лекции десятки лет назад, когда он был еще неопытным.
Но теперь эти две фигуры словно наложились друг на друга в его памяти.
— Довести основные исследования теории чисел и арифметической геометрии до такого уровня, неудивительно, что он смог решить грандиозную задачу гипотезы Римана.
В кабинете Уайлс, профессор, решивший последнюю теорему Ферма, облегченно вздохнул, и в его глазах промелькнуло понимание.
Всё это время он не мог понять, как этому человеку это удается.
Но теперь, кажется, все ответы уже на доске, и невольно начинаешь восхищаться.
Стоя у доски, долго молчавший Тао Цзэхуань глубоко вздохнул и тихо произнес:
— Основная нить, направляющая развитие теории чисел и арифметической геометрии, — это аналогия между полями чисел и полями функций. Кто бы мог подумать, что инструмент классификации топологических пространств в теории групп окажется связан с количеством решений алгебраических многообразий над конечными полями… Алгебраическая геометрия действительно удивительна.
Сделав небольшую паузу, он с горькой усмешкой произнес, словно сожалея и высмеивая себя.
— Все говорят, что я — ‘универсальный математик’ нового поколения, но я всего лишь хорош в аналитической теории чисел, гармоническом анализе, уравнениях в частных производных и операторной алгебре.
— А у этого парня вообще есть области математики, в которых он не разбирается?
— Насколько далеко он зашел на математическом пути?
Стоя рядом с ним, Джеймс Мейнард беспомощно открыл рот: «Могу ли я считать, что ты издеваешься?»
Черт возьми!
В присутствии этих двух универсальных гениев, ему, специализирующемуся только на теории чисел, не стоит ли зарыться в землю?
Но, как бы то ни было, в математическом мире он уже превзошел подавляющее большинство ученых, достигнув вершины в таком огромном направлении, как теория чисел.
Но, как ни странно, все, кто сейчас находится в этой комнате, — это лучшие математики мира.
Старое поколение, такое как Фальтинс, Делинь и Уайлс, и так понятны — каждый из них словно божество.
А из более молодого поколения, тот, кто сейчас стоит у доски и пишет, и так понятен.
Остальные, будь то Шульц, Тао Цзэхуань, или даже У Баочжу и Перельман, кажутся сильнее его.
В этой группе он, кажется, самый слабый.
Подумав об этом, Мейнард невольно вздохнул — лауреат Филдсовской премии, и всё равно есть разница.
Но хорошо, что он ещё молод, и в будущем у него будет возможность изучать другие области математики.
У доски Сюй Чуань всё ещё полностью сосредоточенно продолжал писать свои исследовательские идеи, даже не замечая, когда прекратил объяснять.
В кабинете прекратились тихие обсуждения, и все с неподвижным взглядом смотрели на человека у доски, наблюдая, как он продолжает писать.
В этот момент Сюй Чуань полностью погрузился в мир чисел и операторов, полностью забыв о внешнем мире и о себе.
Ряды математических формул вытекали из острого маркера, словно прекрасные ноты, вместе исполняя беззвучную, но волнующую симфонию, вливаясь в уши каждого слушателя.
Неизвестно, сколько времени прошло, но маркер, исписавший уже несколько досок, даже переписавший и исправивший кое-где, наконец остановился.
“Определим ζc(s) = x∈c ∏(1-N(x)s)1”
“x пробегает замкнутые точки на C, переносим их на проективную кривую”
Написав это, Сюй Чуань слегка поднял правую руку, и на доске появилась плавная линия, превратившаяся в последнюю строку формулы.
“.ζ_C можно записать в форме Z_C(q^-s), Z_C(T) = P(T)/Q(T), P, Q ∈ Z[T].”
Словно нажав клавишу завершения музыкального произведения, когда последний символ был написан, Сюй Чуань наконец остановил руку.
Повернувшись, он посмотрел на стоящих за ним людей, и в их лицах и взглядах увидел удивление, недоумение, понимание и другие эмоции.
В кабинете воцарилась тишина.
Хотя отсутствие аплодисментов немного смущало Сюй Чуаня, он всё же слегка откашлялся и с улыбкой сказал:
“Если мои рассуждения верны, нам нужно лишь решить, что все нули P(T) расположены на окружности симметрии функции |T| = q^{-1/2}, чтобы обойти гипотезу BDS, аналитически продолжить гладкое алгебраическое многообразие X на всю плоскость и, следовательно, удовлетворить гипотезу Римана.”
“Это также означает, что для изучения гипотезы Лефшеца о стандартных соображениях у нас появится новый математический инструмент!”
“Верю, что сказав всё так прямо, с вашим уровнем вы не затруднитесь понять ход моих мыслей.”
Стоя у доски, Шульц смотрел с глубокой задумчивостью.
Гипотеза Лефшеца о стандартизации имеет множество различных формулировок, но в основном она связана с определенным классом алгебраичности.
Например, знаменитая гипотеза Ходжа, которую он решил ранее, также относится к этому, и ключевой проблемой для обеих этих задач являются операторы.
Особенно оператор Лефшеца L, задействованный в гипотезе о стандартных соображениях, определяется выбором гиперплоскостного сечения W.
Таким образом, для определенного ограниченного класса многообразий можно либо получить тривиальный случай для кривых, либо непосредственно проверить алгебраичность.
Хотя решить эту задачу нелегко, можно сказать, что даже ему самому не удастся решить эту проблему за короткое время.
Но нахождение прорывного пути исследования для определенной сложной задачи — это одна из областей, в которой Сюй Чуань особенно силен.
Более того, с этим парнем, после того как он найдет жизнеспособный путь исследования, ему, возможно, не потребуется много времени, чтобы решить проблему.
В конце концов, ранее ему потребовалось в среднем не более года, чтобы решить тысячелетние задачи, такие как гипотеза Ходжа и уравнения Навье-Стокса.
Изначально Шульц думал, что Фальтинс достаточно силен, но Сюй Чуань оказался еще более невероятным!
Похоже, что на двух различных направлениях исследований они уже сильно отстали.