Глава 677. Путь к квазиримановой гипотезе •
Мысли в его голове текли, Сюй Чуань застыл на месте, и в его расширенных зрачках появился смутный путь.
Гипотеза Римана - это вопрос, который был поднят для изучения функции π(x), это гипотеза о распределении нулей дзета-функции Римана ζ(s).
В 1859 году, когда Риман был назначен членом-корреспондентом Берлинской академии наук, в качестве подарка он представил свою единственную статью по теории чисел, а также единственную статью, полностью не содержащую геометрических понятий: "О количестве простых чисел, меньших заданной величины".
Эта статья была недлинной, всего девять страниц, но можно с полным правом сказать, что она открыла новую эру аналитической теории чисел в истории математики.
И в статье Риман дал точное выражение функции распределения простых чисел: π(x)=∞∑n=1·μ(n)/n·J(nx).
Несомненно, это ядро результата распределения простых чисел.
Если гипотеза Римана прославила его на весь мир, то введение метода дзета-функции Римана, который поднял исследование π(x) с вещественной прямой на комплексную плоскость, было поистине новаторской работой.
Используя методы комплексного анализа, он объединил алгебру и геометрию, положил начало развитию топологии, дифференциальной геометрии и других современных разделов математики, и вывел развитие алгебры в область четвертого измерения.
Используя кривизну для определения понятия пространства, Риман открыл новую область неевклидовой геометрии и, несомненно, был настоящим мастером математики.
Конечно, то, что прославило его на весь мир, - это гипотеза Римана.
Эта гипотеза века, определенная Математическим институтом Клэя как одна из семи задач тысячелетия, включает в себя тысячи математических формул, основанных на ней.
Если гипотеза Римана подтвердится, то по меньшей мере более двух тысяч математических формул будут повышены до теорем; если гипотеза Римана будет опровергнута, то это перевернет весь математический мир!
Для Сюй Чуаня сегодня он думал не об этом, а о том, что он изучал еще в прошлом году, когда ездил в Санкт-Петербург на Международный конгресс математиков.
Об этой корреляционной функции "случайных эрмитовых матриц собственных значений", вызванной гипотезой Римана!
Если с помощью теории многомерных функций сделать ссылку на полиномиальную функцию на эрмитовой матрице, тем самым вывести полиномы Дженсена и ряды Тейлора/Маклорена...
Возможно, он знает, что делать!
Мысли и фрагменты в его голове непрерывно соединялись, и в его глазах появился смутный путь.
Рассеянные черные зрачки постепенно сфокусировались, в глазах Сюй Чуаня вспыхнул радостный свет, и когда мысли вернулись, он взволнованно схватил руку стоящего перед ним человека, горячо обнял его и взволнованно, сбивчиво сказал.
"Ха-ха-ха, нашел, я знаю! Я знаю, что делать!"
Взволнованный голос с безудержным смехом разнесся по всему офису.
Сбоку Лю Цзясинь, которую Сюй Чуань обнял, вся напряглась, почувствовав жар и силу, исходящие от тела, ее лицо быстро покраснело, до самых кончиков ушей.
В своем волнении Сюй Чуань не обратил на это внимания, он быстро отпустил ее и быстро сказал: "Цзясинь, найди мне комнату и одолжи мне немного черновиков!"
Вдохновение в его голове в этот момент достигло пика, и он уже не обращал внимания на то, где находится.
Не только гипотеза Римана, но и парная корреляционная функция гипотезы Римана и собственных значений случайных эрмитовых матриц также не давала ему покоя.
Она соответствует функции в физике, описывающей закон распределения энергетических уровней многочастичной системы при взаимодействии, и если его предыдущие исследования не были ошибочными, то, возможно, в области теории чисел он сможет прикоснуться к этому завораживающему "мосту Эйнштейна-Розена"!
Поздней ночью в здании Chuanhai Network Technology Co., Ltd., в небольшой комнате рядом с офисом Лю Цзясинь, под ярким светом, в глазах Сюй Чуаня были видны кровяные прожилки, но его лицо было полно волнения.
Кончик ручки слегка постукивал по бумаге, шариковая ручка, зажатая в его руке, быстро выводила на чистом листе формата А4 математические формулы и основные теории вычислений.
Толстая стопка черновиков перед ним была заполнена математическими формулами, а на полу повсюду валялись скомканные в шарики листы бумаги.
【π(x)=∫2x·dt/ln t+ O(x^1+2+e).】
Это асимптотическая формула функции π(x), с ее помощью можно также вывести гипотезу Римана: 【ζ(s)=np(1-p^(-s))^-1】
Но сейчас Сюй Чуань должен был не развернуть гипотезу Римана с помощью асимптотической формулы, а сделать еще один шаг вперед и расширить и сжать ее с помощью теории многомерных функций.
Гипотеза Римана не так проста, и прежде чем двигаться к этой, можно сказать, самой большой вершине в математическом мире, ему нужен инструмент, чтобы решить задачу сжатия Re(s) до числа 1/2.
1/2, или 0,5, это число довольно особенное в гипотезе Римана.
С тех пор как гипотеза Римана была предложена в 19 веке, бесчисленное количество математиков были очарованы ею.
За долгое время исследований математики назвали прямую Re(s)=1/2 на комплексной плоскости критической линией (critical line).
Если отбросить математическую строгость и логику, то, говоря простыми словами, можно понять это так: "Согласно важной математической формуле, мы можем нарисовать много бесконечно много точек".
"И часть этих точек выстраивается в горизонтальную линию, а другая часть - в вертикальную линию, но все точки находятся на этих двух линиях, и ни одна не пропущена".
Гипотеза Римана - это такая математическая формула, в которой одна из линий является прямой линией, основанной на 1/2. Но поскольку этих точек бесконечно много, теоретически невозможно доказать, что все точки находятся на этих двух линиях, потому что это никогда не закончится.
И наоборот, если найдется хоть одна точка, которая не находится на линии, то гипотеза Римана будет опровергнута.
Но на сегодняшний день математики с помощью компьютеров проверили первые 1,5 миллиарда таких точек, и все они соответствуют закономерности расположения гипотезы Римана.
И никто не смог найти ни одной точки, которая не находилась бы на линии.
Поэтому обычно гипотеза Римана рассматривается в математическом мире как теорема, и многие математические формулы строятся на основе ее истинности.
Время незаметно шло, и в маленькой комнате горел яркий свет, Сюй Чуань не знал, который сейчас час.
【Re(s)≤0, ζ(s)=2π^8-1·sinπ8/2Г(1-s)ζ(1-s)】
Написав на черновике математическую формулу шариковой ручкой, он задумался.
Через некоторое время он почесал голову, испытывая нечто среднее между "беспокойством" и "счастьем", и отложил ручку.
После того, как старшая сестра по учебе Лю Цзясинь напомнила ему, он нашел проблему в своих предыдущих исследованиях, а также смутно нашел направление для своих предыдущих исследований моста Эйнштейна-Розена.
Но по стечению обстоятельств он не нашел никаких идей в направлении, которое собирался изучать, но у него появилось небольшое вдохновение в отношении гипотезы Римана.
Глядя на черновики, разложенные на столе, Сюй Чуань поджал губы, это был вывод функции ζ(s) и функции ζ(1-s) с помощью формулы суммирования Пуассона, и это был один из основных шагов для доказательства отсутствия нетривиальных нулей при Re(s)≤0.
Говоря простым языком, это ослабление гипотезы Римана, а затем решение ослабленной гипотезы Римана, то есть слабой гипотезы Римана.
На самом деле, это то, чем занимался современный математический мир.
Изучение нижней границы количества нулей на критической линии - это лучший метод, признанный математическим миром с тех пор, как появилась идея критической полосы гипотезы Римана.
В ζ-функции гипотезы Римана все нетривиальные нули лежат на критической точке Re(s), а вещественные корни нетривиальных нулей равны 1/2.
Это гипотеза, она еще не доказана.
Но на данный момент математический мир уже смог свести все нетривиальные нули ζ-функции гипотезы Римана к критической полосе 0-1, близкой к 0,5.
Проще говоря, я пока не могу доказать, что все ее вещественные корни равны 1/2, поэтому я докажу, что все они находятся между 0 и 1.
Хотя это не совсем стандартно, но, по крайней мере, так легче понять.
Идея нижней границы критической полосы - это именно такая идея.
Путем постоянного приближения расстояния 0-0,5, чтобы нетривиальные нули постепенно приближались к 1/2.
И на этом пути в математическом мире появилось большое количество результатов.
Например, в 1975 году Левинсон из Массачусетского технологического института перед смертью от рака доказал, что N0(T) ] 0,3474N(T). В 1980 году китайские математики Лоу Шито и Яо Ци немного улучшили работу Левинсона, доказав, что N0(T) ] 0,35N(T).
Лучший результат исследований гипотезы Римана на сегодняшний день был доказан с помощью метода постоянного приближения к критической полосе.
Но, к сожалению, за полтора века, прошедшие с момента выдвижения гипотезы Римана, прогресс в ее изучении, включая работу по продвижению критической полосы, все еще далек.
Сюй Чуань не знал, верен ли этот путь, но на данный момент ему казалось, что он нашел другой способ приблизиться к нетривиальным нулям.
Хотя это всего лишь небольшая идея, и ее еще нужно дорабатывать, но можно сказать, что если он опубликует эту идею, она определенно потрясет весь математический мир и вызовет волну увлечения гипотезой Римана.
Вот только это не то, чего он хотел.
Его исследование парной корреляционной функции "случайных эрмитовых матриц собственных значений" сегодня не принесло большого прогресса.
И у него даже было смутное предчувствие, что, возможно, только полностью решив проблему гипотезы Римана, он сможет прикоснуться к тайне "пространства-времени"?
Простые числа, возможно, действительно могут быть связаны с пространством-временем и скрывать самые глубокие тайны Вселенной.
P.S.: Только что начался новый год, немного занят, как и ожидалось, пришлось задержаться на работе, к тому же в последнее время от просмотра материалов по гипотезе Римана и пространственно-временным червоточинам голова идет кругом, задумался и застрял, это дополнение к вчерашней главе, сегодня еще будет.